1. Даны два прямоугольных треугольника АВС, АDС (рис. 1). Доказать: ∆АВС = ∆АDC.
Найти ВАD, если ВС = СD, АСВ = 55°.

20°

Объяснение:

Дано (см. рисунок):

ΔАВС - равнобедренный

AD - биссектриса угла А

BD - биссектриса угла В

∠ADB = 100°  

Найти: ∠С

Решение.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него углы при основании равны ∠А=∠В. Биссектриса делит угол пополам, поэтому α=∠А/2 и β=∠В/2. Но ∠А=∠В и поэтому α=β. Значит, треугольник ADB также равнобедренный.

Найдём углы α и β. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°: α + β + 100° = 180°.  В силу этого α = β = (180-100)/2 = 40°.

Тогда ∠CАВ=∠СВА=2·α=2·40°=80°.  Опять используем свойство:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

В силу этого ∠CАВ+∠СВА+∠С=180°. Отсюда

∠C=180°-(∠CАВ+∠СВА)=180°-(80°+80°)=180°-160°=20°.

ответ: 20°

Трапеция ABCD:  AD║BC;  AD=12;  BC=8; AB=13; CD=15

1) Провести в трапеции высоты BK⊥AD;  CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC - AK = 12-8-x = 4-x

ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4-x)²
⇒   13² - x² = 15² - (4-x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² + 8x
-56 = 8x   Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то трапеция не может иметь вид 1)

2) Провести в трапеции высоты BK⊥AD;  CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC + AK = 12-8+x = 4+x

ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4+x)²
⇒   13² - x² = 15² - (4+x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² - 8x
8x  = 40;   x = 5
h² = 13² - x² = 169 - 25 = 144;   h = 12

Площадь трапеции
S = (AD + BC)*h/2 = (12+8)*12/2 = 120  кв. ед.