1.Определи длину меньшей боковой стороны прямоугольной трапеции, если один из углов трапеции
равен 45 , меньшее основание — 4,1 см, большее основание — 9,8 см.
ответ: искомая боковая сторона равна ...см
2.Высота ромба образует угол 27° .Вычислите тупой угол ромба.
Тупой угол ромба равн...​

У меня тут есть где то красивый рисунок, по которому сразу видно, почему точка G лежит на HO и делит его в пропорции OG/GH = 1/2; (теорема Эйлера). Если есть треугольник ABC, и точка A1 - "противоположная" A точка на описанной окружности (то есть AA1 - диаметр описанной окружности), то A1BHC - параллелограмм, поскольку A1C II BH - обе прямые перпендикулярны AC; то же для A1B II CH;
Поэтому, если М - середина BC, то AM является медианой не только тр-ка ABC, но и треугольника AA1H; другой медианой этого треугольника является HO; этим всё доказано.
К этой задачке это имеет косвенное отношение, скорее - это "теория". Все, что надо - это что OG/GH = 1/2;
Дан треугольник IHO; IH = p; IO = d; HO = q; надо найти x = IG; где HG = 2q/3;
дальше одна теорема косинусов. t = cos(∠IHO)
d^2 = p^2 + q^2 - 2pqt;
x^2 = p^2 + (2q/3)^2 - 2p*(2q/3)t = p^2 + 4q^2/9 + 2/3(d^2 - p^2 - q^2) = p^2/3 + 2d^2/3 - 2q^2/9;
собственно это ответ, если я нигде не напутал с цифрами.

У меня есть свой вариант построения. 
 
Простроим произвольную окружность (удобно подходящую, конечно).
Отложим хорду АВ, равную сумме отрезков a и b. AE=a, BE=b.
Из точки Е отложим окружность с радиусом, равным отрезку с.
Точка пересечения окружностей даёт нам отрезок СЕ, равный с. СЕ=с.
Отложим луч СЕ, пересекающий первую окружность в точке Д. 

Фокус в том, что по теореме о пересекающихся хордах АЕ·ВЕ=СЕ·ДЕ или ДЕ=АЕ·ВЕ/СЕ=ab/c, значит ДЕ=d.

Таким можно получить сразу два отрезка d. На рисунке это отрезки ДЕ и Д`E