Опять Пифагоровы тройки, придется решать :)))
Треугольник со сторонами (25, 39, 56) составлен из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (15, 20, 25) и (15, 36, 39), приставленных друг к другу катетами 15 так, что другие катеты - 20 и 36 вместе образуют сторону 56.
Поэтому высота трегуольника равна 15, площадь 15*56/2 = 420, периметр 25 + 39 + 56 = 120; радиус вписанной окружности 2*420/120 = 7;
Уже "запахло" Пифагоровой тройкой (7,24,25) :))
Точка М проектируется в центр вписанной окружности (проекция М также должна быть равноудалена от сторон), поэтому расстояние от М до стороны (любой), радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания к этой же стороне и расстояние от М до плоскости образуют прямоугольный треугольник с катетом 7 и гипотенузой 25. Поэтому расстояние от М до плоскости равно 24.
Ну, прямо так один критерий! Тут таких уж умных правил нет.
Смотрите, на 4 точках можно построить 3 вектора. Если все точки лежат в одной плоскости, то эти три вектора линейно зависимы - один является линейной комбинацией других. Это может по разному выражаться. Например, смешанное произведение этих векторов равно нулю. (Смешанное произведение - это скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других). Его можно представить, как определитель 3x3, составленный из координат трех векторов.
a1,a2,a3
b1,b2,b3
c1,c2,c3
Если такой определитель равен нулю, то вектора компланарны. (Между прочим, это равносильные утверждения- определитель равен нулю, если строки - или столбцы - линейно зависимы). А координаты векторов через координаты точек выражаются так
a1 = x1 - x0; a2 = y1 -y0; a3 = z1 - z0;
b1 = x2 - x0; b2 = y2 -y0; b3 = z2 - z0;
c1 = x3 - x0; c2 = y3 -y0; c3 = z3 - z0;
При этом плоскость задана точками (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) (x3,y3,z3)
а точка 0 (x0,y0,z0)
Вы составляете определитель по схеме
x1 - x0; y1 -y0; z1 - z0;
x2 - x0; y2 -y0; z2 - z0;
x3 - x0; y3 -y0; z3 - z0;
И если он равен нулю - точка 0 лежит в плоскости точек 1, 2 и 3
