В этой задаче надо решить 3 треугольника: АВС, АСД и АВД. Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох. А(0; 0), В(7; 0). Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С. Отрезки СД и ВД по заданию равны: СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25. ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75. cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС) = 0,52381. A = 1,019479 радиан = 58,41186 градусов. cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС) = 0,904762. B = 0,439976 радиан = 25,20877 градусов. cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) = -0,111111 = -1/9. C = 1,682137 радиан = 96,37937 градусов. Хс = АС*cos A = 3*0,52381 = 1,571429. Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3* 0,851835 = 2,555506. Сторона АД = √(3²+5,25²-2*3*5,25) = 6,3294945. Аналогично находим координаты точки Д. Хд = 6,321429. Yд = 0,319438. Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД. Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р = 1,982965. Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р = 1,17517. Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р = 6,28975. Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р = 0,158817. Здесь Р - периметр треугольника. Находим площади треугольников по формуле Герона: S(ACD) = 7,826238. S(ABD) = 1,11803. Находим радиусы вписанных окружностей: r1 = S(ACD)/p = 7,826238/ 7,2897472 = 1,073595. r2 = S(ABD)/p = 1,11803/ 7,039747225 = 0,158817. Теперь находим длину L отрезка О1О2: L = √(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) = 4,425080879. По Пифагору находим: EF = √(L²-(r1+r2)²) = 4,25.
Пусть SABC - треугольная пирамида. Плоскость проходит через сторону BC основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро AS в точке K так, что SK : AK = 3 : 4. Треугольник BCK - сечение пирамиды SABC плоскостью, которая разбивает пирамиду SABC на две пирамиды - SKBC и KABC.
Объем пирамиды SABC: V₁ = 1/3 * Sосн₁ * h₁ где Sосн₁ - площадь треугольника, лежащего в основании данной пирамиды, т.е. S(ABC) h₁ - высота пирамиды SABC, т.е. перпендикуляр SO, проведенный к плоскости основания данной пирамиды
Объем пирамиды KABC: V₂ = 1/3 * Sосн₂ * h₂ где Sосн₂ - площадь треугольника, лежащего в основании данной пирамиды, т.е. S(ABC) ⇒ Sосн₁ = Sосн₂ h₂ - высота пирамиды KABC, т.е. перпендикуляр KO₁, проведенный к плоскости основания данной пирамиды
Треугольники SOA и KO₁A подобны по двум углам: ∠KAO₁ = ∠SAO (угол наклона ребра к плоскости ABC) ∠SOA = KO₁A = 90° ⇒ стороны данных треугольников пропорциональны.
Поскольку SK : AK = 3 : 4, отрезок SK составляет 3 части, отрезок AK составляет 4 части, AS составляет 7 частей. ⇒ AK : AS = 4 : 7 ⇒ KO₁ : SO = 4 : 7 ⇒ h₂ : h₁ = 4 : 7 7h₂ = 4h₁ h₂ = 4h₁ / 7
