Задано точки М(-4; 7; 0) і N (0; - 1; 2). Знайдіть відстань від точки до точки , що є серединою відрізка MN.

​

Геометрический
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.

1) В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, противолежащие углы равны. 

ДЕ - биссектриса, ⇒∠ЕDА=∠ЕDС. 

∠СЕD=∠ЕDА – накрестлежащие. ⇒ 

треугольник СЕD равнобедренный, а так как углы при основании ЕD равны 60°, он - равносторонний. 

Угол С=60°, угол А=угол С=60°. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. ⇒∠В=∠D=120°

СD=ЕС=АС=4 см. АD=ВС=3+4=7 см

Р (АВСD)=2•(7+4)=22 см

Четырехугольник АВЕD - равнобедренная трапеция, так как ВЕ║|АD, и АВ=СД⇒АВ=ЕД. 

-------------------

2) ∆ СЕD прямоугольный, Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒ 

угол ЕСD=90°- 45*=45°⇒ ∆ СЕD – равнобедренный. 

CE=ED=5 

Перпендикуляр СЕ параллелен и равен АВ. -⇒

 АВ=СЕ=5 см