Дано три точки А(1;1;1), В (-2;1;2), С (0 ;2 ;-3 ). Знайдіть коорди- нати точки D(x;y;z), якщо вектор АВ дорівнює вектору CD.

Пирамида правильная, т. е. проекция вершины на основание совпадает с пересечением его диагоналей. В квадрате длина диагонали «сторона квадрата» множить на корень из 2-х (можно сослаться на теорему Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поскольку треугольник имеет прямой угол). Диагональ квадрата – она же и основание треугольника в указанном сечении пирамиды. Угол (при учёте, что треугольник прямоугольный) вычисляется как арктангенс отношения противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий – это высота из условия, а прилежащий – половина диагонали квадрата в основании. Если подставить все известные данные, то получается дробь: делимое - 5 корней из 6-ти, а делитель - 10 корней из 2-х делённое на 2. После «перекочёвки» 2-ки к 5-ке и сокращения остаётся корень из 6 делить на корень из 2-х или просто корень из 3-х. Арктангенс корня из 3-х ровно 60 градусов. Площадь сечения просто получается перемножением катетов того же треугольника (половинки сечения). 5 корней из 6 множить на 10 корней из 2-х делённых на 2. Всё легко сокращается до вида 50 корней из 3-х.

обозначим проекции точек а; в; с; d и точки о - точки пересечения диагоналей :

a_(1); b_(1); c_(1); d_(1); o_(1)

рассмотрим прямоугольные трапеции aa_(1)d_(1)d и вв_(1)с_(1)с  

пересекаются по прямой оо_(1)

оо_(1)- средняя линия трапеции aa_(1)d_(1)d

оо_(1)- средняя линия трапеции вв_(1)с_(1)с  

так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

из трапеции aa_(1)d_(1)d:

оо_(1)=(аа_(1)+dd_(1))/2

из трапеции вв_(1)с_(1)с :

оо_(1)=(bb_(1)+cc_(1))/2

приравниваем правые части:

(аа_(1)+dd_(1))/2=(bb_(1)+cc_(1))/2 ⇒ [b]аа_(1)+dd_(1)=bb_(1)+cc_(1)[/b]