Трапеция АВСД. АВ=СД, уголА=уголД, проводим высоты ВН=СК на АД треугольник АВН=треугольнику СДК как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, НВСК - прямоугольник, ВС=НК=5, АН=КД = (АД-НК)/2=(17-5)/2=6
проводим ВМ - точка М находится между точками А и Н (ближе к Н)
треугольник АВН прямоугольный, ВН=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате) = корень(100-36)=8 = СК,
НД=НК+КД=5+6=11, площадь треугольника НВД = 1/2 НД х ВН = 1/2 х 11 х 8 =44
точка О пересечение АС и ВМ, треугольник АОМ=треугольнику ВОС по двум углам угол АОМ=углуВОС как вертикальные , угол ОАМ=углу ОСВ как внутренние разносторонние, и стороне АО=СО , значит АМ=ВС=5
МН=АН-АМ=6-5=1, площадь МВН= 1/2 МН х ВН= 1/2 х 1 х 8=4
Площадь ВМД = площадь НВД + площадь МВН = 44+4=48
пусть сторона квадрата равна К, тогда
S=K^2 (1)
Но также мы знаем, что
S=P*r/2=2К*r/2 (где r-радиус вписанноу окружности) (2)
Теперь рассмотрим треугольник
центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, тогда рассмотримт треугольник образованный половиной стороны, серединным перпендикуляром и радиусом окружности, (радиус совпадет с биссектрисой и с другим серединным перпендикуляром т. к. это правильный треугольник) значит острый угол рассматриваемого треугольника равен 60/2=30 Соответственно:
a/(2r)=cos30
r=a/2cos30=a/корень из 3 (3)
Подставлю формулу 3 в формулу 2 и приравняю формулы 1 и 2 получу результат:
К=а/корень из 3
S=K^2=a^2:3
ответ a^2:3
