решить контрольную по геометрии.

АС = 16 ед.

Объяснение:

Расстояние от вершины треугольника В до точки касания Н с вписанной в треугольник окружностью равно разности полупериметра треугольника и противоположной вершине В стороны (теорема) или в нашем случае

ВН = 40/2 -АС = 20 - 2*DC. (1) (так как в равнобедренном треугольнике высота является и медианой)

В прямоугольном (радиус ОН перпендикулярен стороне ВС в точке касания Н) треугольнике ВОН  ОН = OD =(2/5)*BD (дано).

ВО = BD - (2/5)*BD = (3/5)*BD и по Пифагору:

ВН = √(ВО²-ОН²) = √(9*ВО²/25-4*ВО²/25) = (√5/5)*BD.

Прямоугольные треугольники ВDC и ВНО подобны по общему острому углу. Из подобия: ВН/ОН=BD/DC.  =>

DC = BD*OH/BH = BD*2*BD*5/(5*√5*BD) = (2/√5)*BD.

Из (1): (√5/5)*BD = 20 - (4/√5)*BD => BD*5/√5 = 20 =>

BD = 4√5 ед.  Тогда  

DC = (2/√5)*BD = (2/√5)*4√5 = 8 ед.

АС = 2*DC = 16 ед.

Построение ясно из рисунка.
Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S  пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н.
Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды  SABCD.

Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата  равна в нашем случае 6√2.
Ее половина ОС=3√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN.
Вариант решения - через подобие прямоугольных  треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые.
Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF.
Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC).
Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO).
Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG.
FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно,  SE=SO-EO=2√14.
EF находим из треугольника EOF по Пифагору:
EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23.
ответ: SH=6√14/√23.