Косинус острого угла А треугольника АВС равен 4/5.Найдите синус А

 Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60 градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки D.  Найдите расстояние от точки С до плоскости. Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, М принадлежит плоскости. Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа. 
Решение.
CD параллельна АВ, следовательно, параллельна плоскости альфа, в которой лежит АВ.
 Все точки прямой, параллельной плоскости, удалены от нее на равное расстояние. ⇒ точка С находится на том же расстоянии от плоскости, что и точка D, т.е.  на расстоянии а/2.
 Угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа - двугранный. 
Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. 
Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного  угла, лежащими в гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало. 

Из любой точки ребра двугранного угла можно провести линейный угол, и все эти углы будут равны между собой. 
Так как острый угол ромба равен 60°, его диагональ ВD делит ромб на два равносторонних треугольника. DK  - высота треугольника  (и высота ромба), перпендикулярна АВ, ⇒
DK=(а√3)/2
Проекция отрезка DK перпендикулярна АВ, т.е. KN⊥AB  по теореме о трех перпендикулярах. 
Синус угла угла DKN между плоскостью ромба и плоскостью альфа - это отношение между  отрезком DN  и высотой DK ромба. 
sin DKN=DN:DK
Угол НВМ=углу DKN.
sin DKN=a/2:(а√3)/2=1/√3 
sin НВМ=1/√3 

Чертеж к решению - во вложении.

Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.

Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.

Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.

Тогда

Аналогично,

Рассмотрим четырехугольник АОВО1.

У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.

Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.

Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.

Доказано.