1) Найдите стороны равнобедренного треугольника, если боковая сторона треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5,считая от вершины угла при основании треугольника, а его периметр 104 cм
2) В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен 40˚ вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
III. Найдите стороны треугольника ABC, зная, что периметр данного треугольника, причём описанного вокруг окружности, равен 66 см. Точка соприкосновения круга к стороне АВ делит эту сторону в отношении 4: 3, считая от вершины А. Точка касания к стороне АС удаленная от вершины С на 5 см.

Дан ΔABC, AB=BC, AF - биссектриса ∠BAC, AF=AC.

Найти: ∠ABC, ∠BCA, ∠BAC - ?

Пусть ∠BAC = 2x.

В равнобедренном треугольника углы при основании равны.

Тогда ∠BCA = ∠BAC = 2x.

Биссектриса делит угол на два равных.

Поэтому ∠BAF = ∠CAF = ∠BAC:2 = x.

ΔAFC - равнобедренный т.к. AF=AC.

∠AFC = ∠ACF = 2x, как углы при основании.

Сумма углов треугольника равна 180°.

В ΔAFC:

∠AFC+∠ACF+∠CAF = 180°;

2x+2x+x = 180°;

5x = 180°;

2x = 180°:5·2 = 72°.

∠BCA = ∠BAC = 2x = 72°;

В ΔABC:

∠ABC+∠BCA+∠BAC = 180°;

∠ABC = 180°-72°-72°;

∠ABC = 36°.

ответ: 36°, 72° и 72°.

ответ: 40,4 (ед. длины)

Объяснение:

      Диагонали квадрата  являются его биссектрисами и делят его углы  на два по 45°. СА перпендикулярна MN (дано), ⇒треугольники МАС и САN - прямоугольные. Поэтому градусная величина углов СМA и CNA – 45°, они равны между собой. Отсюда треугольники СМA и CNA прямоугольные равнобедренные (углы при их основаниях СМ и СN равны) с общим катетом СА. Они равны между собой. МС=СN, МА=NА. Треугольник МСN равнобедренный,  отрезок СА для треугольника СМN является медианой и равен половине гипотенузы MN. ⇒ MN=2•CA=2•20,2=40.4 ед. измерения.