БАЛОВ

1. В остроугольном треугольнике АВС серединные
перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О,
ОВ=10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если
угол ОАС равен 30°.
2. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 пересекаются в
точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь
треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.

3. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1
пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА=
38°.
4. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке
О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см.
Найдите площадь треугольника НОК.

1 доказываешь равенство треугольников AMD и CNB, например (по первому признаку равенства), отсюда равенство МD и NB. из того же равенства (треугольников) получаешь равные углы из которых следует параллельность этих сторон. По признаку парал. получаешь доказательство )) (2 стороны равны и параллельны)
Если был доказан признак, что если у выпуклого 4угольника диагонали пересекаются посередине, то это параллелограмм - то еще проще ) одна диагональ уже есть. И она пересекается с другой в своей середине и в ее середине (очень просто доказывается)

Пусть АВ - наибольшая сторона прямоугольника. АВ = 3 см (по условию).Рассмотрим треугольник AKC. Так как AKCD - ромб, то АК = КС, и этот треугольник равнобедренный, с углами при основании АС, равными, по условию, 30 градусам.

Треугольник АВС прямоугольный, с прямым углом В. Сторона ВС = АВ*tg30 = √3 см.
Тогда АС = АВ/cos30 = 2√3 см. Сторона ромба АК = КС  - боковая сторона равнобедренного треугольника с основанием, равным 2√3, и углами при основании, равными 30°. Высота этого треугольника - сторона, противолежащая углу в 30° - равна √3*tg30° = 1 см. Боковая сторона АК = КС = 1/sin30° = 2 см.

ответ: 2 см.