1. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр 12 см и две наклонные. Найти эти наклонные, если разница между ними 2 см, а разница между их проекциями 4см.
2. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 25 см и 29 см, а их проекции относятся, как 7:5.
3. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и две наклонных. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 3:4, а их проекции равны 18см и 32 см.
4. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр 24 см и две наклонные. Найти проекции наклонных, если одна из них на 8 см больше другой, а сами наклонные отличаются на 4 см.
5. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.
1) Докажите, что МК ⊥ ВС
2) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС, если АК = а, ВС = 2а.
6. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см. Чему равен угол между прямой МС и плоскостью АВС?

Обозначим треугольник АВС; ВМ -биссектриса и медиана. 

Проведем из А параллельно ВС прямую до пересечения с прямой ВМ в точке К. 

Рассмотрим треугольники АМК и ВМС. АМ=СМ (т.к. ВМ – медиана), углы этих треугольников при М равны как вертикальные, ∠ВСМ=∠КАМ как накрестлежащие при пересечении параллельных (по построению) прямых ВС и АК секущей АС. 

Следовательно, ∆ АКМ=∆ ВСМ по второму признаку равенства треугольников. ⇒

АК=ВС.

Т.к. ВМ биссектриса угла АВС, ∠АВМ=∠СВМ, а из равенства треугольников АКМ и СВМ углы при основании ВК треугольника ВАК равны – ∆ ВАК равнобедренный и АВ=АК. 

Из доказанного выше АК=ВС, следовательно, АВ=ВС.⇒ 

∆ АВС равнобедренный, что и требовалось доказать.

№1 трапеция АВСД, СД=25, ОД=15, ОВ=9, треугольник АОВ подобен треугольнику ДОС по двум равным углам (уголАОВ=уголДОС как вертикальные, уголДСО=уголВАО как внутренние разносторонние), АВ/СД=ОВ/ОД, АВ/25=9/15, АВ=25*9/15=15, ДС/АВ=ОС/ОА, 25/15=ОС/ОА, 5/3=ОС/ОА, площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, площадь АОВ/площадь ДОС=АВ в квадрате/СД в квадрате=225/625=9/25

№2 треугольник АВС подобен трецугольнику КМН по третьему признаку (три стороны одного треугольника пропорцианальны трем сторонаим другого), АВ/КМ=8/10=4/5, ВС/МН=12/15=4/5, АС/КН=16/20=4/5, пропорции равны,  вподобных треугольниках против подобных сторон лежат равные углы, уголА=уголК=80, уголВ=уголМ=60, уголС=уголН=(180-80-60)=40

№3 трапеция АВСД, ВС=4, АД=12, площадь АОД=45, треугольник ВОС подобен треугольнику АОД по двум равным углам (уголВОС=уголАОД как вертикальные, уголОАД=уголВСО как внутренние разносторонние), площади относятся как квадраты сторон, ВС/АД=4/12=1/3, площадь ВОС/площадь АОД=(ВС/АД) в квадрате, площадь ВОС/45=1/9, площадь ВОС=45*1/9=5