Даны три точки А (1; 3, -1), В (-2, 4 ,2), С (0; 3,-1). Найдите координатами точки D (х; y;z), если векторе АВ и CD противоположные.

При пересечении двух прямых образуется 4 угла  <A, <B, <C, <D (см. рисунок), причем <A и <B (<A и <D, <D и <C,  <B и <C) - смежные углы, одна сторона у них общая.
<A и <C, <B и <D - вертикальные углы, стороны одного являются продолжением сторон другого.
Смежные углы в сумме равны 180°, так как образуют развернутый угол.
Итак, <A+<B=180° и <B+<C=180°, значит <A=180° - <B и <C=180° - <B.
Так как <B - это один и тот же угол, то <A=<C, а это вертикальные углы.
Можно сказать, что вертикальные углы равны, потому что они дополняют один и тот же угол до 180°.

Есть вариант, не знаю подойдет ли:

Провести из точек B и D (тех, что лежат на линии b) перпендикуляры к линии a.

Получилось 2 треугольника, обозначим их как ABX и CDY.

Угол X = углу Y = 90 градусов

XA = YD (т.к. XA и YD парралельны прямым a и b)

угол B равен углу D (т.к. прямые a||b, и AB||CD.)

По второму свойству равенств треугольников: "Если сторона и 2 прилежащих угла равны, то равны и треугольники".

угл. X = угл. Y
XA = YD 
угл. B = угл. D

следовательно

ΔABX = ΔCDX

Т.к. треугольники равны - равны и их стороны

Следовательно AB = CD

---------------Дополнение---------------------
Был найден еще