решить контрольную,очень важно.
Вариант I
Контрольная работа № 5 Прямоугольный треугольник, соотношения между сторонами и углами треугольника

1. Дано: ÐBAD = ÐBCD = 90°, ÐADB = 15°, ÐBDC = 75°.

Доказать: AD || ВС.

2. В треугольнике ABC ÐC = 60°, ÐВ = 90°. Высота ВВ1 равна 2 см. Найдите АВ.

3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.

4*. С циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют 4 равных прямоугольных треугольника(половинки диагоналей это катеты, а сторона ромба гипотенуза) , пусть a,b катеты,  с гипотенуза
Сумма катетов :


Также вспомним теорему Пифагора:
 
 

Объединим оба уравнения в систему:

Выразим из второго уравнения а (подстановка)

Подставим в первое уравнение





Это приведенное уравнение, решаем по т.Виета



Подставляем оба найденных корня в подстановку


Как мы видим ответом систем являются пары чисел (15;20) и (20;15) ,не имеет значения в каком порядке расположены числа, мы нашли половины диагоналей.


Площадь ромба можно найти по формуле:

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.