1. 1) ∠AOD=∠BOC=130° (вертикальные), значит ∪ ВС=130°(стягивает центральный угол).
2)∪ АВ=∪АС- ∪ВС=180°-130°=50°, значит
∠АСВ =50/2=25 °(вписанный не центральный угол)
2. 1) ∆ АВС- равнобедренный , значит ∠ А=∠С=(180°-177°)/2=1,5°.
2) ∪ ВС=1,5°·2=3° (стягивает вписанный угол), тогда ∠ВОС=3° (центральный угол )
3. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-7°=83° .
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=83°.
4. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-84°=6°
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=6°.
5. ∠ ABC =90°(вписанный), т.к ∪ АС=180° (опирается на диаметр АС). Тогда ∠С=180°-90°-75°=25°
6. 1) ∪ AN=73°·2=146° (стягивает вписанный ∠ NBA). Тогда
∪ NB =∪ AB-∪AN=180°-146°=34°.
2) ∠NMB=34°/2=17° (вписанный не центральный угол)
7. 1) ∆ АОВ- равнобедренный(АО=ОВ=r), значит ∠ОАВ=∠АВО=15°. Тогда ∠ОВС =56°-15°=41°.
2) ∆ ВОС- равнобедренный(ВО=ОС=r), значит ∠ОВС=∠ВСО=41°.
8. ∆ АОВ =∆ СОD (AO=OD=r, CO=OB=r, ∠AОВ =∠CОD-вертикальные ), значит ∠ОАВ =∠ОСD=25°
Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же - и между собой - подобные (это очень полезное заклинание, точно сильнее "авады кедавры").
Один из треугольников, НА которые высота разделила исходный треугольник, оказался Пифагоровым треугольником - раз у него одигн катет (это высота исходного тр-ка) 5, а гипотенуза (это катет исходного тр-ка) 13, то второй катет 12, и это один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу. если обозначить второй отрезок x, то из подобия следует
x/5 = 5/12; x = 25/12;
Гипотенуза c равна c = 12 + 25/12 = 169/12;
Второй катет b можно найти так
b/13 = 5/12; b = 65/12;
На самом деле есть технический прием, который позволяет все это получить, так сказать, не думая.
Два треугольника со сторонами
(5, 12, 13)
(b, 13, c)
подобны друг другу, откуда
b = 5*13/12 = 65/12
c = 13*13/12 = 169/12
x = c - 12 = 25/12;
