3. На рисунке AC = ВС и прямая а перпендикулярна
отрезку AB. Тогда прямая а называется...
4 Треугольник MNK - равносторонний, а 0- центр вписанной
в данный треугольник окружности. Тогда центром описан-
ной около треугольника MNK окружности является точка...​

Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).

8.2.

Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что  BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 :  2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.

8.3.

Пусть O — центр данной окружности,  AB — хорда, проходящая через точку P,  M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.

8.4.

Пусть R — радиус данной окружности,  O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.

8.5.

Пусть R — радиус окружности S,  O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса  

Ц

 

R2 – d2/4

 

с центром O.

8.6.

Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,  

SR

EC

=   PQ

EC

=   BQ

BC

=   FR

FC

, т. е. точка S

Речь не идет о равностороннем и равнобедренном треугольниках, так как в этих случаях решения иные.

1. Верно, так как медиана АМ делит противоположную сторону на равные части.
2. Не верен. Так как биссектриса BN не делит сторону на равные части.
3. Не верно, так как медиана АМ не делит угол пополам
4. Верно, так как биссектриса BN делит угол пополам.
5. Верно, так как высота СК перпендикулярна стороне АВ
6. Не верно, так как биссектриса не перпендикулярна противоположной стороне.

В равностороннем треугольнике все утверждения верны, так как биссектриса, медиана и высота  каждого угла совпадают.
В равнобедренном треугольнике все зависит от того, какие именно стороны равны.