1. Точка А лежить поза площиною α. Скільки прямих, перпендикулярних
до площини α, можна провести через точку А?
1) Одну
2) Дві
3) Безліч
4) Жодної
2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Знайдіть градусну міру кута між
прямими AC і DC 1 :
1) 30 0 ;
2) 45 0 ;
3) 60 0 ;
4) 90 0 .
3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямокутний паралелепіпед. Назвіть прямі,
перпендикулярні до площини грані ABB 1 A 1 :
1) DD 1 ;
2) CC 1 ;
3) ВС;
4) DC
4. Дано прямі m i n та площину α, такі, що m||n, m┴α. Укажіть правильне
твердження.
1) Пряма n паралельна площині α.
2) Пряма n перпендикулярна до площини α.
3) Пряма n лежить у площині α.
4) Пряма n перетинає площину α під кутом 45 0 .
5. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Укажіть проекції відрізка B 1 D на площину ABCD:
1) DB;
2) AC;
3) D 1 B 1 ;
4) A 1 C 1
Встановіть відповідність:
6. Дано куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Встановіть відповідність між твердженнями (1-4)
та прямими (А-Д), для яких виконуються дані твердження:

1) Паралельна прямій А B 1
2) Утворює з прямою А B 1 кут
90 0
3) Утворює з прямою А B 1 кут
60 0
4) Утворює з прямою А B 1 кут
45 0
1) A 1 D
2) DC 1
3) DD 1
4) B 1 D
5) D 1 C

Розв’яжіть задачу:
7. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть градусну міру кута між прямими AB 1 і CD 1.
Наведіть повне розв’язання до задачі:
8. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 16 см і
24 см. Як віддалена від площини середина відрізка?

Теорема 1
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство:
Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости .
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Гипотенуза всегда больше катета, поэтому гипотенуза равна 52. Пусть гипотенуза - с=52, а катет б=20. Пусть высота будет h, а другой катет - а.
По теореме Пифагора



Обозначим отрезки гипотенузы, на которые высота делит гипотенузу, за х (ближе к катету б) и 52-х. Теперь составим два уравнения (у нас есть два маленьких прямоугольных треугольника, образованных катетом, высотой и отрезком гипотенузы):



Теперь приравняем эти уравнения, возведём всё, что нужно, в квадрат, перенесём всё в одну сторону и получим:



Ну а теперь по теореме Пифагора найдём h.



ответ: