1. Знайдіть відстань між точками А(-1; 0; 2) і В (1; -2; 3).

2. У дано точки: А(-1; 2; 1) і B(3; -2; 3). Знайдіть координати точки С-
середини відрізка АВ.

3. На осі аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(-2;3;5) і С(3;-5;1).

4. Обчисліть довжину діагоналі BD паралелограма ABCD,якщо A(1;−3;0), B(−2;4;1),
C(−3;1;1).

5. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, якщо A(6; 8; 2), B(2; 4; 3),
C(4; 2; 8) і D(8; 6; 7).

Задание 2

Дано:

DO = OC

AO = OB

Доказать, что треугольник CAO равен треугольнику DBO

                                  Доказательство

Рассмотрим треугольник CAO и треугольник DBO

DO = OC - по условию

AO = OB - по условию

угол DOB равен углу AOC, т.к. углы вертикальны

следовательно треугольник CAO равен треугольнику DBO по 1 признаку равенства треугольников

                                     ч.т.д

Задание 4

Дано:

AD- биссектриса

угол ADB = углу ADC

Доказать, что AB = AC

                                        Доказательство

Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ACD

угол ABD = углу ADC - по условию

угол BAD = углу DAC - т.к AD - биссектриса

AD - общая

следовательно треугольник ABD = треугольнику ACD по 2 признаку равенства треугольников

следовательно AB = AC

                                              ч.т.д

1) Дано: ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BAC.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство: Рассмотрим ΔABC и ΔAD.AC - общая сторона, ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BAC (по условию) ⇒ ΔABC = ΔAD по стороне и двум прилежащим к ней углам.Так как треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. ⇒ AD = BC ; AB = DC. ⇒ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны.

ответ: что и требовалось доказать.

2) Дано: DO = OB ; ∠OAB = ∠DCO.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство: Рассмотрим прямые DC и AB при секущей AC.Накрест лежащие углы ∠OAB = ∠DCO (по условию) ⇒ DC║AB.

Рассмотрим ΔAOB и ΔDOC.∠OAB = ∠DCO (по условию) ; DO = OB ; ∠AOB = ∠DOC (вертикальные). ⇒ ΔAOB = ΔDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам.Так как треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. ⇒ AB = DC. ⇒ ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны.

ответ: что и требовалось доказать.

3) Дано: ∠D = ∠A = ∠B.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство: Рассмотрим прямые DC и AB при секущей AD.Накрест лежащие углы ∠D = ∠A (по условию) ⇒DC║AB.Так как DC║AB, то ∠B = ∠C (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей).Теперь рассмотрим прямые AD и BC при секущей DC.Соответственные углы ∠D = ∠C (по выше доказанному) ⇒ AD║BC. ⇒  ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны (по определению).

ответ: что и требовалось доказать.