Серединные перпендикуляры к сторонам остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. На стороне BC основанием серединного перпендикуляра является точка K. Известно, что OK = 9, KC = 12. Найдите AO.

Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник SAB, где:
Образующие AS = BS = 14 cм ⇒ треугольник SAB является равнобедренным с углом 90° при вершине, основанием AB, равным диаметру окружности основания конуса. 
Высота (SO) конуса является высотой равнобедренного треугольника SAB, проведенной к основанию AB (а также медианой и биссектрисой) ⇒ SO делит угол при вершине треугольника SAB пополам ⇒ ∠ASO = ∠BSO = 45°

В прямоугольном треугольнике ASO:
∠ASO = 45°
∠AOS = 90°
∠SAO = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник ASO является прямоугольным равнобедренным с основанием AS, боковыми сторонами AO = SO = r 
Радиус окружности основания конуса равен высоте конуса. 

Найдем AO через косинус угла SAO. Косинусом угла SAO является отнрошение прилежащего к нему катета AO к гипотенузе AS

                         AO
cos(SAO) = ---------------
                         AS

                      AO
cos(45°) = ---------------
                       14

  AO            1
--------- = ----------
  14            √2

AO * √2 = 14 * 1

AO = 14/√2

r = 14/√2 (см)

Площадь основания конуса равна: 

S = π * r²

S = π * (14/√2)² = π * 196/2  = 98π ≈ 308 (cм²)

1. а) угол 1=углу 2, => треугольник равнобедренный
сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
обозначим искомый угол за х.
x+x+(x+30)=180
x+x+x+30=180
3x=150
x=50
б) снова обозначим переменную за x и воспользуемся тем же правилом.
x+(x-20)+(x-40)=180
x+x-20+x-40=180
3x-60=180
3x=240
x=80
2) треугольник равнобедренный, <= A=B=65 (усл)
внутренний угол C равен 180-65-65=50 (т.к. сумма углов треугольника равна 180)
внешний угол С равен 180-Свнут=180-50=130
C=130

если не ошиблась в расчетах, все должно быть верно.