Дан треугольник АВС. ВС=308 мм, угол В=45С, угол С=77С. Из вершины угла А к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр длиной 727 м. Найти расстояния от вершины перпендикуляра до остальных вершин треугольника.

Я надеюсь, что чертеж не совсем непонятный))
Итак, мы нарисовали трапецию ABCD  обозначили на ней все углы.
Рассмотрим треугольник ABD. Угол абд равен 90, т.к. бд перпендикулярна аб. И угол адб равен 30 по условию. Этот треугольник прямоугольный. Значит угол А будет 60 градусов. 
Рассм. угол Д. Он состоит из адб и бдс, это 30+30=60.
Т.к. угол А и угол Д равны, то этот треугольник равнобедренный и АБ и СД равны.
Далее вспомним еще одно свойство прямоугольного треугольника. катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. 
_____________________________________________

Периметр равен сумме 4-х сторон. Поэтому мы обозначим наши стороны иксами. Так аб и сд, как равные, обозначим "x" и гипотенузу прямоугольного треугольника, ад, как "2x". Нам осталось найти верхнюю сторону, бс.
_____________________________________________

Т.к. это равнобедренная трапеция, то и верхние углы равны, значит:
Б=С=180-60=(360-60-60):2=120
Рассм. треугл. бсд. Угол дбс = 30 градусов, т.к. угол Б-абд=120-90=30.
Угол бдс тоже равен 30 (по условию).
Следовательно, треугольник бсд равнобедренный, и значит, что бс=сд=x
______________________________________________

Итак, наше P = x+x+x+2x=5x
x=60/5x=12
AD=2x=12*2=24 cm.
ответ: AD = 24 см.  

Касательные к окружности,проведённые из одной точки, равны, значит АМ=АN=2, СN=СД=3. 
Пусть ВМ=ВД=х, тогда АС=АМ+ВМ=2+х, ВС=СД+ВД=3+х.
Площадь треугольника АВС: S=(1/2)ab·sinα=(1/2)АС·ВС·sinC=5(3+x)·√3/4,
Также S=pr, где р=(АВ+ВС+АС)/2=(2+х+3+х+5)/2=5+х.
В тр-ке NOC ∠ОСN=∠C/2=30° (СО - биссектриса),
NO=NC·tg(∠OCN)=3/√3=√3. r=√3.
S=(5+x)·√3.
Объединим два полученных уравнения площади треугольника АВС:
5(3+х)·√3/4=(5+х)·√3,
15+5х=20+4х,
х=5.
В четырёхугольнике МВДО ∠ВМО=∠ВДО=90°,  значит ВО⊥МД.
ВО и МД пересекаются в точке К.
В прямоугольном тр-ке ВОМ МК - высота. МК=ВМ·МО/ВО.
ВО²=ВМ²+МО²=5²+3=28.
ВО=√28=2√7.
МК=5·√3/(2√7)=5√21/14.
Треугольники ВОМ и ВОД равны по трём сторонам, значит МК=ДК.
МД=2МК=5√21/7 - это ответ.