3. В каком наибольшем числе точек могут пересекаться 100 прямых, если ровно 11 из них
параллельны друг другу? ответ обоснуйте.
4. На клетчатой бумаге отметьте точки, симметричные точкам и относительно показанной
прямой.
5. Биссектриса при основании равнобедренного треугольника образует с противоположной его
стороной угол в 60°. Найдите угол данного треугольника, противоположный основанию.
6. Длины двух сторон треугольника равны 3 и 5, а третья – целое число. Сколько может быть
различных треугольников с такими сторонами.
7. Часы показывают 10:30. Найдите угол между их стрелками.
8. Три прямые пересекаются в одной точке. На рисунке отметили три угла, образованные
этими прямыми. Величины двух из них равны 65° и 70° Напишите величину третьего угла.

Выразим, чему равны угла А и В треуг-ка АВС.
Пусть <А = х, тогда
<B=90-<A=90-x.
Треугольники КАС и МВС равнобедренные по условию. Значит, углы при их основаниях КС и МС равны. <CKA=<KCA=<1, <CMB=<MCB=<2
Выразим, чему равны углы 3 и 4 в этих треуг-ах:
<3=180-<A=180-x
<4=180-<B=180-(90-x)=90+x
Выразим углы 1 и 2, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:
<1=(180-<3):2=(180-(180-x)):2=x:2
<2=(180-<4):2=(180-(90+x)):2=(90-x):2
<KCM=<1+90+<2
<KCM=x:2 + 90 + (90-x):2 = 135°

Т.к. диагональ АС перпендикулярна стороне СЕ, получаем прямоугольный треуг-ик АСЕ. Рассмотрим его. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, находим неизвестный угол ЕАС:
<EAC=90-<AEC=90-45=45°
Т.е. прямоугольный АСЕ - равнобедренный, т.к. углы при его основании АЕ равны. АС=ЕС.
Высота СН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также медианой. Значит АН=ЕН.
Рассмотрим прямоугольные треуг-ики АВС (он прямоугольный, т.к. трапеция прямоугольная) и АНС. Они равны по одному из признаков равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треуг-ки равны. В нашем случае:
АС - общая гипотенуза
АВ=СН (АВ является по сути той же высотой трапеции).
Значит, ВС=АН
Но АН=1/2АЕ, значит
ВС=1/2АЕ.