О– точка пересечения диагоналей квадрата АВСD.
ОО1||AA1.
К– точка пересечения OO1 c СА1.
ОК– средняя линия треугольника АА1С
ОК=1/2
Проводим ОМ⊥AD.
Треугольник AOD – равнобедренный. ОМ – высота и медиана.
ОМ=1/2
АМ=MD.
Тогда МК⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
Докажем, что МК⊥СА1.
Так как АМ=МD и АА1=СD, то прямоугольные треугольники АА1М и МDC равны по двум катетам.
А1М=МС.
Значит треугольник А1МС – равнобедренный и МК медиана, а значит и высота.
МК⊥СА1.
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора
МК2= МО2+OK2
MK2=(1/2)2+(1/2)2
Mk2=1/2
MK=√2/2
О т в е т. √2/2.
