Вариант 1 1. На окружности отмечены точки А, М, Р, В так, что АВ - диаметр окружности, угол АРМ равен 57%, а угол РАМ равен 480. Найти угол РАВ. 2. Вершины треугольника делят окружность в отношении 2:3:4. Найти углы треугольника. 3. Хорды АС и ВМ пересекаются в точке К. Найти длины ВМ и КМ, если АС = 0,7 см, м, CK = 0,5 см, BK = 0,4 см. 4. Хорды АС и ВМ пересекаются в точке К. Найти длины АК и КС, если МК = 4 см, ВК = 6 см, СК на 5 см больше АК.

1) Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном треугольнке средняя линия параллельна основанию и равна его половине ⇒ длина основания равна 2*5 = 10 (см)

2) В прямоугольном треугольнике ABC:
AB - гипотенуза
BC - катет, противолежащий углу 48 градусов
AC = 4см, - катет прилежащий углу 48 градусов
∠BAC = 48°

Катет BC можно найти с тангенса известного угла BAC. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника является отношение противолежащего этому углу катета BC к прилежащему AC.
                   BC
tg(BAC) =  ⇒ BC = AC * tg(BAC)
                   AC

По таблице Брадиса определяем, что тангенсу 48° соответствует величина 1,11061

BC = AC * 1,11061
BC = 4 * 1,11061 = 4, 44244 ≈ 4,5 (cм)

1) центр вписанной в треугольник окружности-точка пересечения биссектрис, т.к. треугольник равнобедренный, биссектриса к основанию будет и высотой, часть этой высоты будет радиусом окружности, т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной))
т.е. высота треугольника известна, осталось найти основание...
известно: биссектриса угла треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
по т.Пифагора можно найти основание)))
2)
сумма неравных углов параллелограмма=180° (это односторонние углы), противоположные углы параллелограмма равны)))
если обозначить угол (х), например, то второй острый угол прямоугольного треугольника, образованного высотой параллелограмма, будет =90°-х
из несложного равенства становится очевидно, что угол между высотами равен углу параллелограмма)))
площадь параллелограмма=произведению двух сторон на синус угла между ними.