Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
биссектриса ортотреугольника является высотой исходного треугольника
ДА. Стороны ортотреугольника образуют со стороной BC равные углы. Вычитая из прямых углов, получаем равные углы.
биссектриса внешнего угла ортотреугольника является стороной исходного треугольника
ДА. Биссектриса ортотреугольника является высотой ABC. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, следовательно сторона BC - внешняя биссектриса ортотреугольника.
I — ортоцентр треугольника IaIbIc
ДА. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов перпендикулярны. Для треугольника IaIbIc треугольник ABC является ортотреугольником.
высота ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину
ДА. Сторона ортотреугольника антипараллельна стороне BC. Касательная через вершину A антипараллельна стороне BC. Сторона ортотреугольника и касательная параллельны. Тогда перпендикуляры к ним - высота ортотреугольника и радиус в точку касания - также параллельны.
----------------------------------------
высота ортотреугольника является биссектрисой исходного треугольника
НЕТ. Высота ABC является биссектрисой ортотреугольника.
H — центр описанной окружности треугольника IaIbIc
НЕТ. Центр описанной окружности IaIbIc симметричен I относительно O.
биссектриса ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину
НЕТ. Биссектриса ортотреугольника параллельна радиусу вписанной окружности.
