Нарисуйте прямокутник. Побудуйте фігуру, симетричну цьому прямокутнику відносно прямої, що містить його діагональ. Знайдіть периметр Р фігури, що є перетином цих двох прямокутників, якщо сторони вихідного прямокутника дорівнюють 6 та 8.

Окружность, уравнение которой x^2+y^2 = 4 - это окружность с центром в начале координат радиусом 2., поскольку уравнение окружности таково: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 с центром в точке O(a;b) Радиуса R. Из условия имеем: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2. Далее, Из условия AB = BM. Рассмотрим это со следующего ракурса: AB = BM - радиусы некоторой окружности. На рисунке как бы мы не проводили хорду АВ, АВ будет равна ВМ и точка М будет лежать на той самой окружности. И хорда АМ большой окружности будет делится надвое радиусом в точке меньшей окружности (B, B1, B2 ... Bn). Получается, множество точек М - это некая окружность с центром B(2;0) радиусом 4. И уравнение такой окружности будет иметь вид: (x-2)^2 + y^2 = 16.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть

c2 = a2 + b2,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:

a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:

h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).

Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения

Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.

Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).

4

Последняя формула называется формулой Герона.

Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).

Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть

b : c = x : y.

Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)

.

Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).

Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы).

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов: