Задача 1. Дан равносторонний треугольник АВС, в который вписан круг. Один из отрезков, на которые делит точка касания вписанной окружности на сторону треугольника равна 5 см. Найдите периметр треугольника.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите длину круга, описанного вокруг этого треугольника.
Объяснение:
Задача 1.
В ΔАВС-равносторонний вписана окружность , Р∈АВ, К∈ВС,М∈АС, Р,М,К-точки касания.АР=5см.
По свойству отрезков касательных и учитывая , что АВ=ВС=СА получаем :
АР=РВ=ВК=КС=СМ=МА=5 см. Значит сторона треугольника 10 см.
Р=3*АВ=30 (см).
Задача 2.
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы⇒R=10 см. Длина окружности С=2ПR, С=2П*10=20П (см)≈62,8 (см)
2. ∠BDA = ∠BDC = 180° : 2 = 90°, так как эти углы смежные.
∠BAD = ∠BCD по условию,
сторона BD - общая для треугольников BAD и BDC, ⇒
ΔBAD = ΔBCD по катету и противолежащему острому углу.
3. ∠ABE = ∠DCE = 90°
∠CED = ∠BEA как вертикальные,
ED = EA по условию, ⇒
ΔABE = ΔDCE по гипотенузе и острому углу.
∠ABD = ∠DCA = 90°,
∠EAD = ∠EDA как углы при основании равнобедренного треугольника EAD,
AD - общая сторона для треугольников ABD и DCA, ⇒
ΔABD = ΔDCA по гипотенузе и острому углу.
4. АВ = 2ВС = 2 · 4 = 8, так как катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Тогда
∠А = 90° - ∠В = 90° - 60° = 30°.
ВС - катет, лежащий напротив угла в 30°, ⇒
ВС = АВ/2 = 10/2 = 5
6. ∠А = 90° - ∠В = 90° - 45° = 45°, значит ΔАВС равнобедренный,
ВС = АС = 6
