1.В равнобедренных треугольниках АВС и МКР равны углы,
противолежащие основаниям. Найдите боковую сторону треугольника МКР,
если его периметр равен 58, а АВ:АС=12:5.
2 Найдите отношение, в котором высота СН делит гипотенузу АВ, если
отношение периметров треугольников АСН и АВС равно 4:5.
3 Точка К – середина стороны АВ ромба ABCD. Отрезок DК пересекает
диагональ АС в точке М. Найдите площадь ромба, если площадь
треугольника AКМ равна 4

Соединим середины сторон четырехугольника.

Полученные отрезки параллельны диагоналям и равны их половинам, так как являются средними линиями в соответствующих треугольниках.

Отрезки образуют параллелограмм Вариньона.

Площадь четырехугольника Sч =1/2 d₁d₂ sinф

Угол ф между диагоналями четырехугольника равен углу между сторонами пар-ма Вариньона (т.к. они параллельны).

Площадь пар-ма Вариньона Sв =d₁/2 *d₂/2 *sinф =1/2 Sч

Итак, площадь пар-ма Вариньона равна половине площади четырехугольника.

В данном четырехугольнике диагонали равны, следовательно стороны пар-ма Вариньона равны и он является ромбом.

Диагонали ромба перпендикулярны, sin90=1.

Sч =2 Sв =2 *1/2 *14*8 =112

1) В прямоугольном треугольнике АВС <C=90°, <B=60° и <A=30° (90°-60°). Найти надо катет АС (против <60°). Тогда гипотенуза АВ=2*СВ (катет СВ лежит против угла 30°).  По Пифагору АС=√(4СВ²-СВ²)=СВ√3. Площадь тр-ка АВС = (1/2)* АС*СВ = СВ²√3/2 = 50√3/3. Отсюда СВ²=50*2/3, а СВ = √(100/3)=10/√3. Но АС=СВ√3 (смотри выше). Мтак, искомый катет АС = (10/√3)*√3 = 10.
2) Касательные к окружности с центром 0 в точках A и B пересекаются под углом 72 градуса. найдите угол ABO. То есть касательные пересекаются под углом 72° (предположим, в точке С). Точки касания - А и В. Центр О. Значит в четырехугольнике ОАСВ угол АОВ=108°. Треугольник ОАВ равнобедренный, так как АО и ВО - радиусы. Тогда исклмый угол АВО = (180°-108°):2 = 36°