Задание:
|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=1,φ=45° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=2√3,|b ⃗ |=5,φ=30° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,φ=120° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2√2,φ=150° a ⃗∙b ⃗=?
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 1. Найдите скалярное произведение векторов (DA) ⃗ и (В_1 D_1 ) ⃗
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 2. Найдите скалярное произведение векторов (A_1 C_1 ) ⃗ и (A_1 B) ⃗
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 4. Найдите скалярное произведение векторов (AA_1 ) ⃗ и (C_1 С) ⃗

Из условия: 
1) основание - квадрат
2) проекция стороны на основание -прямоугольный треугольник
3) в разрезе пирамиды по углам и вершине тоже треугольник

решение:
треугольник с вершинами 1. вершина пирамиды 2.угол основания 3.нижняя точка высоты (центр основания) прямоугольный - угол 60 градусов, катет 4 см - второй катет 4/ tg60°
проекция стороны на основание - прямоугольный треугольник - равнобедренный - катет 4/ tg60, а гипотенуза будет (4/ tg60°) / sin 45° (в прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гипотенузе равны  по 45 градусов )
это и будет ответом - (4/ tg60°) / sin 45°

1) Возможно, тут и как-то по-другому нужно доказывать, но так тоже всё верно:
, как диагонали равных квадратов, значит Δ - равнобедренный, О - середина АС, значит - медиана, биссектриса и высота, то есть ⊥
ЧТД

2) Можно по достаточному условию перпендикулярности прямой и плоскости:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
⊥ , ⊥ , значит ⊥ , и перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе , значит ∠
ЧТД

Можно по теореме о трёх перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Здесь ещё проще: АВ проведена через основание наклонной , - проекция на плоскость АВС и ⊥, значит ⊥ и ∠
ЧТД