Дан отрезок AB. Постройте середину отрезка AB.

Построение

Проведем через точки A и B прямые AP и BQ, перпендикулярные прямой AB, а затем проведем произвольный перпендикуляр к прямой AP. В результате получим прямоугольник. Остается опустить из точки пересечения его диагоналей перпендикуляр на прямую AB. (Нужен чертёж)

Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона или найдя по Пифагору высоту, опущенную на основание ВС.

а) По Герону. Полупериметр треугольника равен 33:2 = 16,5.

Sabc = √(16,5*6,5*6,5*3,5) = 6,5√57,75.

б) По Пифагору:  Hbc = √(10²-6,5²) = √(16,5*3,5).  =>  

Sabc = (1/2)*13*√57,75 =   6,5√57,75.

Площадь треугольника АВС можно определить так:

Sabc = (1/2)*AB*CH или  6,5√57,75 =5*СН   =>  СН = 1,3*√57,75.

Тогда из прямоугольного треугольника АСН по Пифагору:

АН = √(10² - (1,3*√57,75)²) = √2,4025 = 1,55.

ответ: АН = 1,55.

Допустим, это треугольник АВС, высота - АН, биссектриса-АЕ, угол 10 градусов-это угол НАЕ.Так как НАЕ равен 10 градусам, а из условия следует, что АНЕ равен 90 градусов = мы можем для начала найти угол АЕН. Так как сумма углов треугольника должна быть равна 180 град., находим : 180 - (90+10)=80  - это угол АЕН.Так как сторона ВС-это как бы развернутый угол - значит он равен 180 градусов, поэтому мы можем найти угол АЕС : 180-80=100 - это угол АЕС.Так как биссектриса делит угол пополам - значит углы ВАН и ЕАС должны быть равны по 45 градусов(потому что их сумма=90 градусов), но не забываем о 10 градусах , поэтому выходит, что угол ВАН = 30, а ЕАС=45 градусов.Ну а теперь можем найти  угол АВС. АВС=180-(90+35)=55 градТеперь еще один острый угол АСВ. АСВ=180-(55+90)=35 градусовответ: АЕС =100: ВАН=30: АСВ=35: ЕАС=45.