Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. Дуга АВ относится к дуге АС как 2 : 3, дуга АВ < 180°, дуга АС < 180°, угол ВАС = 55°. Чему равен угол АОС?
1) 75°
2) 150°
3) 110°
4) 100°
2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. АЕ = 4 см, ВЕ = 9 см, СЕ = 12 см. Найдите длину DE.
1) 7 см
2) 6 см
3) 3 см
4) 27 см
3. Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и К так, что АС = 4 см, АК = 16 см. Найдите длину АВ.
1) 8 см
2) 16 см
3) 24 см
4) 10 см
4. Точки А, В, С и К лежат на окружности так, что АК - диаметр, угол СКВ = 25°, угол САК = 20°. Найдите величину угла АКВ.

Даны вершины треугольника АВС: А(-2; 0), В(-3; 2), С(1; -1).

1) Уравнение прямых AB, ВС и АС.

Вектор АВ = (-3)-(-2)=-1;  2-0=2) = (-1; 2).

Вектор ВС = (1-(-3)=4;  -1-2=-3) = (4; -3).

Вектор АС = (1-(-2)=3;  -1-0=-1) = (3; -1).

Каноническое уравнение прямой АВ:  (x + 2)/(-1) = y/2.

Каноническое уравнение прямой ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3).

Каноническое уравнение прямой АС:  (x - 1)/3 = (y + 1)/(-1).

2) Высота АК.

Найдем угловой коэффициент k1 прямой ВС.  Точки В(-3; 2), С(1; -1).

k1(ВС) = Δу/Δ х = (-1-2)/(1+3) = -3/4.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.  

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:  (-3/4)*k = -1, откуда k = -1/(-3/4) = 4/3.  

Так как перпендикуляр проходит через точку А(-2; 0) и имеет k = (4/3), то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).  

Подставляя x0 = -2, k = (4/3), y0 = 0 получим уравнение высоты АК:  

y - 0 = (4/3)*(x + 2)  

или   y = (4/3)x + (8/3) или 4x  - 3у + 8 = 0.

Найдем точку пересечения с прямой ВС:  

Уравнение ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3) или у = (-3/4)х - (1/4).

Имеем систему из двух уравнений по прямым АК и ВС:

 y = (4/3)x + (8/3)

у = (-3/4)х - (1/4)

Приравняв правые части, имеем (25/12)х = -35/12.

Отсюда х  = -35/25 = -7/5 = -1,4.

у = (4/3)*(-7/5) + (8/3) = (4/5) = 0,8.

Точка К(-1,4; 0,8).

3) Модули сторон:  

АВ = √((-1)² + 2²) = √5.

АС = √(3² + (-1)²) = √10.

cos BAC = ((-1)*3 + 2(-1))/(√5√10) = -5/√50 = -1/√2 = -√2/2.

Угол ВАС равен 135 градусов.

3√3/2 см.

Объяснение:

Если тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ещё не изучены, можно воспользоваться этим

1. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, тогда длина гипотенузы с = 2R = 2•3 = 6(см).

2. По условию один из острых углов треугольника равен 60°, тогда второй острый угол равен 90° - 60° = 30°. Напротив него лежит катет, равный половине гипотенузы, а = 6:2= 3 (см).

3. По теореме длина второго катета b = √(36 - 9) = √27 = 3√3(см).

4. S = 1/2ab,

S = 1/2• c • h, тогда

1/2•a•b = 1/2• c • h,

ab = ch,

h = (ab)/c = (3•3√3)/6 = 3√3/2 (см).