Смотри рисунок на прикреплённом фото.
1) ΔАСD ~ ΔABС по 1-му признаку подобия прямоугольных треугольников: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. А у ΔАСD и ΔABС общий острый угол А.
2) Катет АС прямоугольного ΔАВС лежит против угла ∠В = 30°, значит АС равен половине гипотенузы АВ: АС = 0,5АВ = 0,5·12 = 6 (см).
Найдём коэффициент подобия ΔАСD и ΔABС по отношению их гипотенуз АС : АВ = 6/12 = 1/2. Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников k = 1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
S(ΔACD) : S(ΔABC) = k² = 1 : 4.
3) Найдём величину катета ВС, используя теорему Пифагора:
ВС = √(АВ² - АС²) = √(12² - 6²) = √108 = 6√3 (см)
Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к углу сторонам. Поэтому СЕ : ВЕ = АС : АВ = 1/2.
Тогда СЕ = 1/3 · ВС = 2√3 (см) и ВЕ = 2/3 · ВС = 4√3 (см)
Дано:
АВCD – параллелограмм;
АС=BD;
Угол АОВ=60°
АВ=4
Найти:
S(ABCD)
Диагонали параллелограмма точкой пересечения деляться пополам, тогда ВО=0,5*BD; АО=0,5*AC
AC=BD по условию, следовательно 0,5*АС=0,5*BD.
Следовательно ВО=АО, значит ∆АОВ – равнобедренный с основанием АВ.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, тогда угол ABO=(180°–угол AOB)÷2=(180°–60°)÷2=60°.
Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник. То есть АВCD – прямоугольник.
Следовательно угол BAD=90° как угол прямоугольника. Тогда ∆ABD – прямоугольный.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Следовательно угол ADB=90°–угол АОD=90°–60°=30°.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть
AB=0,5*BD
BD=2*AB=2*4=8
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆ABD:
BD²=AB²+AD²
AD²=BD²–AB²
AD²=8²–4²
AD²=64–16
Совокупность:
AD=√48
AD=–√48
Совокупность:
AD=4√3
AD=–4√3
Так как длина задаётся положительным числом, то AD=–4√3 не может быть.
Следовательно AD=4√3.
S=а*b,
где S – площадь прямоугольника, а и b – смежные стороны.
S=AB*AD=4*4√3=16√3
ответ: 16√3
