2. Ребро куба равно 10 см. Найдите:
а) диагональ куба;
б) площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.
3. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. К плоскости данного
треугольника проведен перпендикуляр ОК. Найдите расстояние от точки К до сторон
треугольника, если АВ=ВС=15 см., АС=24 см., ОК=8 см.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D дано: АВ=ВС=6 под корнем 2 см.,
ВD =24 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА ;
б) угол между прямой ВD и плоскостью ABC.

Нельзя

Объяснение:

Обозначим ребра, идущие к вершине тетраэдра a, b, c.

А ребра в основании тетраэдра d, e, f.

Допустим, что можно так расставить числа от 1 до 6, что суммы на вершинах будут одинаковы и равны какому-то числу n.

Выпишем суммы на вершинах:

a + b + c = n

a + d + e = n

c + d + f = n

b + e + f = n

Складываем все 4 уравнения:

a+b+c+a+d+e+c+d+f+b+e+f = 4n

Каждое ребро повторяется по 2 раза:

2(a + b + c + d + e + f) = 4n

Сокращаем на 2:

a + b + c + d + e + f = 2n

Получилось, что сумма должна быть чётным числом. Но сумма:

a + b + c + d + e + f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 - нечётное.

Поэтому такая расстановка чисел от 1 до 6 на рёбрах тетраэдра невозможна.

И любой ряд из 6 чисел подряд - тоже нельзя так расставить.

Данное решение для первой четверти. Для остальных четвертей решение аналогичное

AB = 5√2;   OA = OB  - по условию
ΔOAB - прямоугольный равнобедренный
Теорема Пифагора
OA² + OB² = AB²   ⇒    2OA² = AB²
2OA² = (5√2)²
2OA² = 50   ⇒   OA² = 25    ⇒     OA = OB = 5
Координаты точек  А (0; 5),  В (5; 0)
Уравнение прямой y = kx+b
Для точки А:   5 = k*0 + b;    b = 5
Для точки В:   0 = k*5 + b;   5k = -b;     k = -b/5;
k = -5/5 = -1

Уравнение прямой для первой четверти  y = -x + 5
Уравнение прямой для второй четверти  y = x + 5
Уравнение прямой для третьей четверти  y = -x - 5
Уравнение прямой для четвертой четверти  y = x - 5