В прямоугольном треугольнике АВС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С равен 15 градусов, Сторона ВС 56см. Найдитн сторону АВ, нсли известно, сто точна К лежит между А и Н.

Обозначим стороны четырёхугольника a b c d
если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е. a+c=b+d
предположим, что 8 и 14 равны противоположные стороны, т.е. а=8 с=14, тогда а+с=8+14=22, значит b+d=22, тогда Р=а+b+c+d=22+22=44, по условию Р=46, следовательно противоположные стороны не могут быть 8 и 14
значит это стороны смежные, пусть а=8 и b=14, тогда
a+c=b+d  8+c=14+d  c-d=6
a+b+c+d=46  8+14+c+d=46  c+d=24
получили систему
{c-d=6
{c+d=24    сложим почленно
2с=30
с=15    15-d=6  d=9
самая большая сторона равна 15

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.

Запись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».

На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.

M, K, F- точки касания.

Свойства вписанной в треугольник окружности.

1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

AO, BO, CO — биссектрисы треугольника ABC.

2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):

  

  

  

3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.