Дана окружность с радиусом 6 см найди площадь сектора соответствующего дуге с длиной равной 8 см

Пусть стороны ромба .
Тогда и диагональ . Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то .
По теореме Пифагора найдем АО и СО:

Введем систему координат с началом в точке О, причем, так как диагонали ромба пересекаются по прямым углом, ось х сонаправим с вектором ОС, а ось у сонаправим с вектором ОВ.
Находим координаты точек О, А, В, С,D:
О(0; 0); A(-x√3; 0); B(0; x); C(x√3; 0); D(0; -x)

Угол α между двумя векторами и можно найти по формуле:

а)
Каждая координата вектора высчитывается как разность между соответствующими координатами конца и начала вектора:

Или: воспользоваться тем что треугольник АВD равносторонний, а значит каждый его угол равен 60 градусов

б)

Или: воспользоваться тем что искомый угол можно найти как смежный с найденным в пункте а), а значит равный 180-60=120 градусов

в)


г)

Или: воспользоваться тем что диагонали ромба перпендикулярны, а значит искомый угол равен 90 градусов

д)

Или: воспользоваться тем что заданные векторы лежат на параллельных сторонах ромба, но направлены в противоположные стороны, значит угол равен 180 градусов

а)
Допустим AK < BK (точка K ближе к вершине A) . 
Обозначаем  сторону основания правильной пирамиды
AB=BC =CD =DA =a ;
Пусть выполняется S(ABCD) =S(KPM) ⇔
a² =KM*PO/2 ⇔a² =KM*(1,5a)/2⇒KM= 4a/3 .  AB= a< 4a/3 < a√2 =AC ,.т.е   KM не ⊥ AD  и  KM не совпадает  с  диагоналями основания .
б)
Через центр основания  O проведем  EF ⊥ AD (тоже самое EF ⊥ CD), где 
E ∈ [AD]  ,   F ∈ [BC] .  || K∈[AE] ||
ΔOEK = ΔOFM  по второму признаку равенства треугольников   (OE=OF=AB/2 ;∠OEK =∠OFM=90°  и  ∠KOE =∠MOF-вертикальные углы) .
MF=KE . 
---
Sпол(PABMK) = S(ABMK) +S₁бок .
S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB ; AK +BM =(a/2 -KE) +(a/2 +MF)=a.
 ⇒S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB=a/2 *a =a²/2.
S₁бок  =S(APK) +S(BPM)+S(APB) +S(KPM) =AK*h/2+BM*h/2+a*h/2+a²=
 =(AK+BM)*h/2 +.a*h/2 +a² =a*h/2+a*h/2+a²  =a*h+a² .
 Sпол(PABMK)=a²/2+a*h+a²=3a²/2+a*h = (3a+2a*h)/2, где  h_длина апофема .  
ΔEPF  h =EP=√((a/2)² +PO²) =√(a²/4 +9a²/4) =(a√10)/2 .
---
Sпол(PABCD) = S(ABMK) +S₂бок =a²+4*a*h/2 =a²+2*a*h  ;
 Sпол(PABMK)/ Sпол(PABCD) =(3a²+2a*h )/2  : (a²+2*a*h)  =
 =a²(3+√10)/2 : a² (1+√10) =(3+√10) / 2(1+√10).