У трикутнику з вершинами А(2;1;3), B(2;1;5), С(0;1;1) знайдiть довжину медiани АМ. З рiшенням.
А.)1 Б)2 В)3 Г)4
2)Задано точки А(7;-1;3) i Б(x;y;5). При яких значеннях x i y середина вiдрiзка AB належить осi Oz?
3)Доведiть, що середина вiдрiзка з кiнцями M(a;b;c) i N(p;q;-c) лежить у площинi xy.
4) Доведiть, що чотирикутник ABCD э ромбом, якщо A( 6;7;8), B(8;2;6), C(4;3;2), D(2;8;4).
5)Знайдiть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо вiдомi координати трьох його вершин: А(1;-1;0), В(0;1;-1), C(-1;0;1).

А) ∠( AC, AB) = 90°, т.к. угол между сторонами квадрата равен 90°;

б) Переносим параллельным переносом вектор DA так, чтоб его начало было в точке А.
Тогда угол между векторами DA и AB равен 90° + 45° = 135°;

в) ∠(OA, OB) = 90°, т.кю угол между диагоналями квадрата равен 90°;

г) (тут то же самое, что и под буквой в);

д) Аналогично ∠(OA, OC) = 90°, т.к. угол между диагоналями равен 90°;

е) Векторы AC и BD сонаправлены, значит, угол между ними равен 0°.

ж) Переносим вектор DB параллельным переносом так, чтоб его начало совпадало с точкой А.
Тогда ∠(AD, DB) = 135°.

з) Переносом вектор OC параллельны переносом так, чтоб его начплао совпадало с точкой А.
Угол между векторами остался таким жеч как и угол между диагоналями, т.е. 90°.

5.2.  Если прямая    перпендикулярна двум пересекающимся прямым (АВ и АС) , лежащим в одной плоскости ( пл. треугольника АВС) , то эта прямая    перпендикулярна самой плоскости ( пл. ΔАВС).

в) Прямая    перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

5.3.  Так как КО⊥ АВСД ( плоскости параллелограмма АВСД) , то эта прямая перпендикулярна ЛЮБОЙ прямой, лежащей в плоскости АВСД. Значит, КО⊥АВ , КО⊥ВС , КО⊥АД , КО⊥СД , КО⊥АС , КО⊥ВД ,...

5.4.  МВ⊥пл ΔАВС  ⇒  МВ перпендикулярна ЛЮБОЙ прямой, лежащей в этой плоскости АВС, в том числе МВ⊥ВХ ( Х∈АС⊂ΔАВС ) ⇒

∠МВХ=90°  и  ΔМВХ - прямоугольный .

Cм. рисунки.