решить Белицкая 8 класс 2 часть

Плоскость пересекает противоположные грани куба по параллельным прямым.
А1Д║В1С. Построим отрезок МК║А1Д. В тр-ке АА1Д МК - средняя линия, значит АМ=А1М и МК=А1Д/2.
Диагональ квадрата А1Д=а√2, МК=а√2/2.
Тр-ки МА1В1 и СДК равны т.к. А1В1=СД, А1М=КД и оба прямоугольные, значит МВ1=СК.
В равнобедренной трапеции B1CКМ проведём высоту МР.
В1Р=(В1С-МК)/2=(а√2-а√2/2)/2=а√2/4.
В прямоугольном тр-ке МА1В1 МВ1²=А1В1²+МА1²=а²+а²/4=5а²/4.
В прямоугольном тр-ке МВ1Р:
МР²=МВ1²-В1Р²=(5а²/4)-(2а²/16)=(10а²-а²)/8=9а²/8,
МР=3а/2√2=3а√2/4.
Площадь трапеции В1СKM:
S=МР·(В1С+КМ)/2=3а√2·(а√2+а√2/2)/8=3а√2·3а√2/16=18а²/16=9а²/8(ед²) - это ответ.

Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.

Биссектриса к основанию является высотой и медианой.

Окружность касается оснований в серединах.

BL=CL, AN=DN

Отрезки касательных из одной точки равны.

BK=BL=CL=CM =a

AK=AN=DN=DM =b

По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD

△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)

△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)

KP=PM =2ab/(a+b)

LN - высота => LN⊥KM

S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN

S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN

S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>

(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>

a/2b +b/2a +1 =8/3 =>

a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3

a/b =x

x +1/x =10/3 =>

x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}

ответ: основания относятся 1:3