Призма АВСЕА1В1С1Е1,
АВ=ВС=СЕ=ЕА=А1В1=В1С1=С1Е1=1(без ограничения общности примем сторону основания за единицу измерения длины).
Тогда АА1=ВВ1=СС1=ЕЕ1=√2;
Угол ВАЕ = 60 градусов.
Нужно найти угол между АС и ЕС1.
Поскольку АВ1 II ЕС1, то ищем угол между АВ1 и АС. Треугольник АСВ1 - заведомо равнобедренный, АВ1=СВ1=√((√2)^2 + 1^2) = √3;
Найдем АС. Ромб в основании "сложен" из двух правильных треугольников со стороной 1, и большая диагональ АС равна
АС = 2*1*sin(60) = 2*√3/2 = √3;
Таким образом, АСВ1 - равносторонний треугольник, и все углы в нем равны 60 градусов. Это ответ.
Обозначим точку пересечения АС с диаметром окружности AD как m.
-Соединим центр О с А и С.
Получим треугольник АОm, в котором Вm по условию задачи равна половине радиуса.
ОА - тоже радиус.
Оm=половина АО.
Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30 °.
Угол АОВ равен 60°.
Угол АОС равен 120°.
Угол АDС равен половине центрального угла АОС и равен 60°.
Сумма углов четырехугольника равна 360°
Сумма углов А и С равна 180°. Поэтому
Угол В =180-60 равен 120 °
Исходя из величины найденных углов, градусные меры дуг:
Угол АВ= центральному углу 60°, и хорда
АВ стягивает дугу 60 °
ВС=АВ=60°
СD= 120°
АД=СD=120 градусов.
(смотри рисунок к задаче)
---------------------------------------------
Радиус описанной окружности можно найти по формуле:
R=аbс:4S, где а,b,с - стороны треугольника , S -его площадь.
Площадь этого треугольника
S=9*24:2=108 см²
Основание из условия задачи известно, боковая сторона - и без решения видно, что она, как сторона египетского треугольника, равна 5*3=15 см ( можно и через формулу Пифагора найти через высоту и половину основания).
R=15²*24:4*108=12,5 см
Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r=S:р, где р - полупериметр треугольника.
р=15+12=27 см
r=108:27=4 см
