Основи рівнобічної трапеції відносяться як 3:2, її висота і бічна сторона відповідно дорівнюють 5см і 7см. Знайти периметр трапеції, якщо її площа дорівнює 275см²

В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу.
Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С =  0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0.
Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0.
Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0.
у + 4 + 7х - 35 = 0,
АС: 7х + у - 31 = 0.
Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом:
у = -7х + 31.

В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х".
Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали.
Используем формулу тангенса суммы (разности) углов:
.
Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:



Теперь переходим к уравнениям сторон.
У параллельных прямых коэффициент к одинаков.
Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.
Алгоритм решения :
1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД.
2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата.
3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.

1) Уравнение АС найдено.
2) ВД:   х - 7у - 8 = 0             -7х + 49у + 56 = 0
    АС: 7х + у - 31 = 0             7х +      у - 31 = 0
                                               --------------------------
                                                        50у + 25 = 0
                                                            у = -25 / 50 = -1/2.
                                         х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5.
Получили координаты точки К(4,5; -0,5).

3) Хс = 2Хк - Ха = 2*4,5 - 5 = 9 - 5 = 4.
     Ус = 2Ук - Уа = 2*(-0,5) - (-4) = -1 + 4 = 3.

Уравнения сторон:
АВ: -4 = (-3/4)*5 + в      в = -4 + (15/4) = (-16/4) + (15/4) = -1/4.
АВ: у = (-3/4)х - (1/4).

СД: 3 = (-3/4)*4 + в       в = 3 + (12/4) = 3 + 3 = 6.
СД: у = (-3/4)х + 6.

АД: -4 = (4/3)*5 + в       в = -4 - (20/3) = (-12/3) - (20/3) = -32/3
АД: у = (4/3)х - (32/3).

ВС: 3 = (4/3)*4 + в        в= 3 - (6/3) = (9 - 16)/3 = -7/3.
ВС: у = (4/3)х - (7/3).

Стоим ромб АВСД. Диагонали ромба АС и ВД и они пересекаються в т. О. В соответствии с условием угол АВО обозначим как 4*х, а угол ВАО обозначим как 5*х.

Рассмотрим треугольник АВО - он прямоугольный (угол О = 90 град, так как диагонали ромба пересекаються под прямым углом). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Запишем уравнение 4*х+5*х+90=180. Решим его и получим х=10.

Следовательно угол АВО равен 4*10=40 град, а угол ВАО равен 5*10=50 град.

Переходим к ромбу: угол АВО=углу СВО = 40 град; угол ВАО=углу ДАО = 50 град.

Следовательно углы А и С в трапеции равны по 100 градусов (50*2), а углы В и Д равны по 80 град (40*2).

Проверим правильность решения: сумма всех углов четырехугольника равна 360 градусов. У нас 100+100+80+80=360.