1. Найдите объём правильного тетраэдра, если его ребро равно 2√2 см.
а) 16/3 см3; б) 8/3 см3; в) 2 см3; г) 4 см3; д) 8 см3.
2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если все её рёбра равны 2√2 см. а) 2 см3; б) 8/3 см3; в) 16/3 см3; г) 8 см3; д) 4 см3.
3. Выберите верное утверждение .
а) Объём пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту ;
б) объём правильного тетраэдра вычисляется по формуле V = а3√2/4, где а – ребро тетраэдра;
в) объём усечённой пирамиды , высота которой равна h , а площади оснований равны S и М, вычисляется по формуле V = h/3(S + M + √S + M );
г) объём правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно а и все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле
V = a3sinφ/12;
д) объём правильной четырёхугольной пирамиды, ребро основания которой равно а, и все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле
V = √2a3tgφ/12.
4. Найдите объём усечённой пирамиды, площади оснований которой равны 3 см2 и 12 см2, а высота -2 см. а) Определить нельзя; б) 7 см3; в) 42 см3; г) 14 см3; д) 56 см3.
5. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды , МВ ⊥ АВС и МВ = 10 см.
а) 300 см3; б) 260 см3; в) 780 см3; г) определить нельзя; д) 100 см3.
6. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 3 и 4. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Найдите объём пирамиды. а) 1; б) 4; в) 6; г) 2; д) определить нельзя.
7. Объём правильной треугольной пирамиды равен 6. Найдите угол между высотой и боковым ребром пирамиды , если сторона основания равна 2√3.
а) 30˚; б) 45˚; в) 60˚; г) 15˚; д) 75˚.
8.В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 2 см . Найдите объём пирамиды. а) 9 см3; б) 6 см3; в) 12 см3; г) 18 см3; д) определить нельзя.
9. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объём пирамиды , если она делит высоту в отношении 2:3?
а) 2:3; б) 8:117; в) 8:27; г) 27:98; д) 27:8.
10. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите объём пирамиды. а) V = c3sin2tgβ/24; б) V = c3sin2tgβ/8; в) V = c3sintg2β/24;
г) V = c3sintgβ/24; д) V = c3sintgβcos/8.
​

1. Объём правильного тетраэдра можно найти по формуле V = (a^3√2)/12, где a - ребро тетраэдра. В данном случае ребро равно 2√2 см, поэтому подставим значение в формулу:
V = (2√2)^3√2/12 = 8√2√2/12 = 8/3 см3

Ответ: б) 8/3 см3

2. Объём правильной четырёхугольной пирамиды также можно найти по формуле V = (a^3√2)/12, где a - ребро пирамиды. В данном случае все рёбра равны 2√2 см, поэтому подставим значение в формулу:
V = (2√2)^3√2/12 = 8√2√2/12 = 8/3 см3

Ответ: б) 8/3 см3

3. Правильное утверждение идентифицируется по формуле для объёма фигуры. Проверим каждое утверждение:

а) Объём пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту - неверное утверждение. Формула для объёма пирамиды: V = (1/3)Sh, где S - площадь основания, h - высота.

б) Объём правильного тетраэдра вычисляется по формуле V = а^3√2/4, где а – ребро тетраэдра - неверное утверждение.

в) Объём усечённой пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и М, вычисляется по формуле V = h/3(S + M + √S + M ) - неверное утверждение.

г) Объём правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно а и все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле V = a^3sinφ/12 - верное утверждение.

д) Объём правильной четырёхугольной пирамиды, ребро основания которой равно а, и все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле V = √2a^3tgφ/12 - неверное утверждение.

Ответ: г) объём правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно а и все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле V = a^3sinφ/12.

4. Объём усечённой пирамиды можно найти по формуле V = h/3(S + M + √S + M ), где h - высота, S и M - площади оснований. В данном случае площади оснований равны 3 см2 и 12 см2, а высота -2 см. Подставим значения в формулу:
V = -2/3(3 + 12 + √3 + 12) = -2/3(15 + 2√15) = -2(5 + 2√15) см3

Ответ: а) определить нельзя

5. Чтобы найти объём пирамиды, необходимо знать площадь основания и высоту. Дано, что основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Высоту пирамиды обозначим как h и она равна 10 см. Площадь основания треугольника АВС можно найти по формуле герона S = √p(p-AB)(p-BC)(p-AC), где p - полупериметр треугольника. Выразим площадь основания треугольника и подставим значения:
p = (AB + BC + AC)/2 = (5 + 12 + 13)/2 = 30/2 = 15
S = √15(15-5)(15-12)(15-13) = √15(10)(3)(2) = √900 = 30 см2

Теперь можем найти объём пирамиды по формуле V = (1/3)Sh:
V = (1/3)(30)(10) = 300 см3

Ответ: а) 300 см3

6. Для нахождения объёма пирамиды в данном случае нам необходимо знать высоту и площадь основания. Дано, что основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Угол, под которым боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания, равен 45˚. Выразим площадь основания треугольника и высоту, используя формулы:
S = (1/2)ab, где a и b - катеты прямоугольного треугольника
h = a√2, где a - катет прямоугольного треугольника

Подставим значения в формулы:
S = (1/2)(3)(4) = 6 см2
h = 3√2 см

Теперь можем найти объём пирамиды по формуле V = (1/3)Sh:
V = (1/3)(6)(3√2) = 6√2 см3

Ответ: в) 6√2 см3

7. Объём правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле V = (a^3√3)/36, где a - ребро пирамиды. В данном случае объём равен 6, поэтому подставим значение в формулу и выразим высоту h по формуле h = (a√3)/2:
6 = (a^3√3)/36
a^3√3 = 216
a^3 = 216/√3
a^3 = 216/√3 * √3/√3
a^3 = 216√3/3
a = (216√3/3)^(1/3)
a = 6√3/∛3 = 6√3/(∛3 * ∛3) = (6√3 * ∛9)/3 = 6√3 * ∛3/3

Теперь можем найти угол между высотой и боковым ребром пирамиды, используя свойства прямоугольного треугольника. У нас есть соотношение между стороной основания и высотой: a/h = √3/2. Подставим значение a и найдём выражение угла α:
(6√3 * ∛3/3)/h = √3/2
6√3 * ∛3/3 = h√3/2
h = (6√3 * ∛3/3)/(√3/2)
h = (6√3 * ∛3/3) * (2/√3)
h = (12√3∛3)/√3
h = 12∛3

Теперь можем найти тангенс угла α, используя соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: tgα = h/a:
tgα = (12∛3)/(6√3 * ∛3/3)
tgα = (12∛3)/(2√3)
tgα = 6∛3/√3
tgα = 6

Αтвет: г) 15˚

8. Для нахождения объёма правильной шестиугольной пирамиды нам необходимо знать боковое ребро и сторону основания. Дано, что боковое ребро равно 4 см, а сторона основания - 2 см. В данном случае требуется использовать формулу для объёма пирамиды V = (a^2h√3)/4, где a - сторона основания, h - боковое ребро. Подставим значения в формулу:
V = (2^2 * 4 * √3)/4 = (4 * 4 * √3)/4 = 4√3 см3

Ответ: г) 4√3 см3

9. Параллельная основанию плоскость делит объём пирамиды в отношении, равном соотношению высот секций. В данном случае высота секций делится в отношении 2:3, следовательно, объём пирамиды будет делиться в таком же отношении: 2:3.

Ответ: а) 2:3

10. Для нахождения объёма пирамиды в данном случае нам необходимо знать сторону основания и высоту. Дано, что основанием