Пусть B1 — середина стороны AC треугольника ABC ,
M — точка пересечения его медиан.
На продолжении медианы BB1 за точку B1 отложим отрезок B1K , равный MB1 . Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM . Стороны треугольника KMC составляют 2/3 соответствующих медиан треугольника ABC . Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC . Тогда площадь треугольника KMC составляет 4/9 площади треугольника со сторонами 3, 4, 5, т.е. 4/9 * 6 = 8/3. Следовательно,
SABC = 6 * SB1MC = 6 * SKMC / 2 = 6 * (8/3) / 2 = 8.
Не понятно, какими методами "определить", если аналитическими, то проще всего найти координаты соответствующих векторов, длины их, если понадобится, углы и т.д
АB = {8-4;0+2} = {4;2} |AB|=sqrt(16+4)= 2*sqrt(5)
BC = {6-8;4-0} = {-2;4} |BC|=sqrt(4+16)=2*sqrt(5)
CD = {2-6;2-4}={-4;-2} |CD|= =2*sqrt(5)
DA = {4-2;-2-2}={2;-4} |DA|= =2*sqrt(5)
Итак, четырёхугольник с равными сторонами, значит - РОМБ.
Найдём какой-нибудь угол, например, В
Скалярное произведение векторов ВА*ВС=-4*-2 +-2*4 = 0
Значит, СosB = 0/4*5 = 0
то есть В=pi/2 - прямой.
Ну и всё, ромб с прямым углом это КВАДРАТ!
