Известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и BC треугольника ABC находится на стороне AC. 1. Докажи, что AD=CD: точка D как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и CB Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Точки А B C равноудалены от центра окружности D от конечных точек этих сторон. Если AD = и = , следовательно, = . 2. Определи вид треугольника ADB: прямоугольный разносторонний нельзя определить равнобедренный равносторонний 3. Определи вид треугольника CDB: прямоугольный разносторонний нельзя определить равнобедренный равносторонний 4. Примени соответственное свойство углов и докажи, что∡KBM=∡KAD+∡MCD: ∡ KAD = ∡ K ; ∡ MCD = ∡ M . 5. Определи вид треугольника ABC: равносторонний прямоугольный равнобедренный нельзя определить разносторонний

1) 

Проведем диагональ NP.  Треугольники PMN  и  PKN равны по трем сторонам - две по условию, третья - общая. . 

Следовательно, углы при вершинах К и М равны. Угол К=100°

2)

Диагональ BD делит четырехугольник на треугольники ∆ ABD и ∆ CBD.  В этих треугольниках стороны ВС=АD по условию, DB  общая, углы между этими сторонами равны. ∆ ABD и ∆ CBD равны по первому признаку равенства треугольников. 

Следовательно, стороны АВ=CD. 

Если противоположные стороны четырехугольника равны, этот четырехугольник - параллелограмм. ⇒, АВ||CD. Доказано.

Пусть в параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусам, а высота BH делит сторону AD пополам (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём острый угол HAB равен 60 градусам, тогда другой острый угол - ABH - равен 90-60=30 градусам. Известно, что в прямогольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, AB=2AH. Кроме того, AD=2AH, значит, AB=AD. По свойству параллелограмма, AB=CD; AD=BC, это значит, что все стороны нашего параллелограмма равны между собой, тогда каждая из них равна 1/4 периметра. В частности, AB=AD=24/4=6. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В него входит меньшая диагональ параллелограмма - BD. Нам известно, что этот треугольник равнобедренный, так как AB=AD. Так как угол при вершине равен 60 градусам, 2 других угла треугольника также равны 60 градусам. Значит, треугольник равносторонний и AB=AD=BD. Отсюда BD=6.