Высота прямоугольного треугольника,опушённая на гепотинузу, образует с одним из катетов угол, равный 75° .Найдите острые углы этого треугольника.

Полученная фигура--пирамида , в основании которой лежит прямоугольный треугольник(ВСД-обозначим) , где ВС-гипотенуза . А--вершина пирамиды , АК--высота. Причём , К∈ВС и является центром описанной окружности основания , а в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т. е. ВК=КС=8см. АК перпендикулярна ВС( высота). Из ΔАВК (угол К=90 град) по теореме Пифагора : АВ²=АК²+ВК²
АВ²=8²+15²=64+225=289
АВ=√289=17(см)
Точка А по условию задачи равноудалена от вершин Δ, значит АВ=АД=АС=17см

В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы => AC - гипотенуза = 12 * 2  = 24.

AC - биссектриса ∠BAC = ∠CAD = 30°

∠ACD = 180° - (30° + 90°) = 60°

Т.к AC диагональ => ∠BCA = 1/2 * 60°= 30°

Проведем высоту BH => BC = HD  = 12

ΔABC равнобедренный => BC = AB = 12

∠ABH = 180 - (90 + 60) = 30

В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы => AH  = 12 / 2  = 6.

AD = AH + HD = 6 + 12 = 18

Особенность прямоугольной трапеции в том, что её высота равна стороне, расположенной перпендикулярно двум основаниям. => BH = CD = 12

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

S = (a+b)/2 * h

S = (12 + 18) / 2 * 12= 180