Т.р лежит на отрезке вн. известно что вр в два раза длинее нр

1)
Дано: тр. ABC и тр. A1B1C1 - подобны, AB=8см, BC=16см, AC=20см, P1=55см

тр. ABC и A1B1C1, подобны, значит:
AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=P/P1=k, где k - коэффицент подобия.
P1=55;
P=8+16+20=44
значит k=P/P1=44/55=4/5
ищем стороны:
A1B1=5*AB/4=5*8/4=10см
B1C1=5*BC/4=20см
A1C1=5*AC/4=25см
значит наименьшая сторона тр. A1B1C1 -
A1B1=10см
ответ: 10см
2)
Дано: тр. ABC, AB=5см ,BC=8см, уг. B=60°
Найти: R=?
находим сторону AC по теореме косинусов:
AC^2=5^2+8^2-2*5*8*cos(B)
AC^2=25+64-2*40*1/2
AC^2=89-40
AC^2=49
AC=7см
искать R будем по теореме синусов:
AC/sin(B)=2R;
sin(B)=sin(60°)=корень(3)/2
R=AC/2sin(B)=7/кор(3)=7кор(3)/3
ответ: 7кор(3)/3

Из точки О построим  перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.

Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.

Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.

Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.

Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.