1)Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
3)Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:4. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 30.

Радиус вписанной окружности в данный треугольник равен 2-м единицам.

Объяснение:

Правильный треугольник - треугольник, стороны которого равны между собой и все углы равны 60 градусам.

Формула площади треугольника, в который вписана окружность: S = pr, где r - радиус данной окружности, p - полупериметр.

S = pr  <=>  r = S / p

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле: S = 0,5 * a² * sin(60°)

Полупериметр данного треугольника можно вычислить по формуле: p = 3*a / 2

r = 0,5 * a² * sin(60°) / (3*a / 2) = 0,5 * a² * sin(a) * 2 / 3*a = a * sin(a) / 3

Подставляем и находим:

r = 4√3 * (√3/2) / 3 = 2 * √3 * √3 / 3 = 2 * 3 / 3 = 2 (единиц)

ответ: r = 2 ед.

Дано: Δ АВС, АВ=10, АА₁=9, ВВ₁=12.
Найти S(АВС), СС₁.

Решение: 
Применяем теорему: медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, АО=6, ОА₁=3;  ВО=8, ОВ₁=4.

Рассмотрим Δ АВО - прямоугольный, "египетский", (т.к. стороны кратны 3, 4 и 5).
S(ABO)=1\2 * 6 * 8=24 (ед²)

S(ABO)=S(BOC)=S(AOC) (по свойству медиан треугольника)
S(ABC)=24*3=72 (ед²)

Δ АОВ - прямоугольный, ОС₁ - медиана, ОС₁=1\2 АВ (по свойству медианы прямоугольного треугольника); ОС₁=5.
ОС₁=5*2=10;  СС₁=5+10=15 (ед)