1. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра, высота которого равна 12 см, а радиус основания равен 3 см. 2. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4 см. Найдите объем призмы, высота которой равна 10 см. 3. Найдите площадь сферы радиуса 6 см.

60 см

Объяснение:

Дана прямоугольная трапеция, BC - малое основание,AD- большое основание, <A=<B = 90, <D = 30

Радиус вписанной окр-ти по т.Пифагора

r = √(13^2 - 12^2) = 5

Проведем из точки C к AD высоту CH = AB = 2r = 10

Тр-к CDH - прямоугольный

CD = CH/sin30 = 10/0,5 = 20

HD = CHcos30 = 5√3

BC = AH = x

AD = AH + HD = x + 5√3

p = P/2 = (BC + AB + CD + AD)/2 = (x + 10 + 20 + x + 5√3)/2 = x + 15 + 2,5√3

S = p*r = (x + 15 + 2,5√3)*5

S = (BC + AD)/2 * AB = (x + x + 5√3)/2 * 10 = (2x + 5√3)*5

Приравняем

(x + 15 + 2,5√3)*5 = (2x + 5√3)*5  |:5

x + 15 + 2,5√3 = 2x + 5√3

х = 15 - 2,5√3

P = 2p = 2*(x + 15 + 2,5√3) = 2* (15 - 2,5√3 + 15 + 2,5√3) = 60 см

Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, сторону диагонального сечения как c, а высоту параллелепипеда как h.

Запишем условия задачи математически:

a = x - обозначим размер одной стороны как x.
Условие "отношение сторон есть 2:1" можно записать в виде: 
b = 2*a

Подставив x получаем:
b = 2*x

Площадь квадратного сечения можно представить так:
c * c = 25 

Откуда мы сразу же получаем значение для стороны сечения:
c = 5.

К тому же, можно заметить, что h = c, т.к. сечение параллелепипеда есть квадрат!

Вспомним формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h 

Подставим в формулу значения:


Упростим:


Чтобы на основе найденных значений мы получили a и b, рассмотрим как связаны между собой a, b и c.

Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (потому что наш параллелепипед прямоугольный, а значит угол между отрезками a и b равен 90 градусов).

Составим уравнение по теореме Пифагора:


Теперь подставим для всех сторон соответствующие значения:


Далее:


Итого получаем:


Решать это уравнение дальше нам не нужно, так как в формуле для объёма у нас есть !

Просто подставляем найденное значение в формулу объёма и получаем ответ: