При доказательстве: Прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Написано: Так как ОВ и ОА - коллинеарны; ОС и ОD - коллинеарны;

То,

ОА=k*OB;

ОD=k*OC;

(Я думаю вывод сделан исходя из того, что стороны прапорциональны, поэтому ОА/ОВ=k , следовательно ОА=k*OB,

но про то что написано "т.к. они коллинеарны", я не понял причем тут это).

И в конце доказательство написано: Отсюда следует, что векторы ОN и OM коллинеарны, и, значит, точка O лежит на прямой MN .

Но мне не понятно, причем здесь Коллинеарность? А если бы они не были коллинеарны или противоположны, то что?

Привет! Я буду выступать в роли школьного учителя и объясню все пошагово, чтобы ответ был понятен.

Доказательство гласит, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Теперь рассмотрим почему это так.

Первое утверждение гласит: "Так как ОВ и ОА - коллинеарны; ОС и ОD - коллинеарны".

Однако, здесь я немного видим проблему, потому что здесь не указано, что такое О, N, M. Очевидно, O - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (либо они просто не обозначены в тексте, и их нужно предположить). N и M, похоже, являются серединами оснований трапеции (но тоже не описаны в вопросе). Короче говоря, для того чтобы пошагово решить эту задачу, нам нужно иметь больше информации.

Теперь, когда у нас нет полной информации, давайте предположим, что О - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, N и M - середины оснований трапеции. Тогда будем продолжать доказательство с этими предположениями.

Теперь, когда у нас есть эти предположения, давайте рассмотрим следующую часть доказательства: Отсюда следует, что векторы ОN и OM коллинеарны, и, значит, точка O лежит на прямой MN.

Коллинеарность векторов ОN и OM означает, что эти векторы лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Если векторы ОN и OM коллинеарны, значит, они указывают в одном направлении или в противоположных направлениях.

Если бы векторы ОN и OM не были коллинеарны, то это означало бы, что они не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. В этом случае точка O не лежала бы на прямой MN.

Но, так как векторы ОN и OM коллинеарны (или совпадают, если мы предполагаем, что N и M - середины оснований), то точка O лежит на прямой MN.

В итоге, доказательство может быть завершено, но я рекомендую предоставить дополнительные сведения о точках N и M и их роли в трапеции, чтобы доказательство было полным и убедительным.