Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 10√2 см та утворює з
основою кут 450. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати
коло.

   Два  сечения, параллельных основанию конуса,  делят его на три подобных фигуры.  Высота меньшего ВО2=1/3 высоты исходного. Высота среднего ВО1=2/3 высоты исходного. Высота исходного ВО=1=3/3.

   Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия их линейных размеров. Для верхних двух конусов  k=ВО1:ВО2=2 ⇒ V(РВТ):V(КВМ)=k³=8:1.

  Объем средней части (усеченного конуса РКМТ)=V (РВТ)-V (КВМ), что соответствует 8V (квм)-1V (квм)=7V (квм). ⇒ V (КВМ)=14:7=2. Объем меньшего конуса 2 (ед. объема).

   Отношение высоты исходного конуса к высоте меньшего k=3:1, следовательно, k³=27.

Объем искодного конуса 27•2=54 (ед. объема)

Рис. прилагается
(ABCD) | | OO₁ ; ∠AOB =120° ; OO₁ =10 см ; OH ⊥AB ; OH =2 см .
-------
S_(ABCD) -?

ABCD - прямоугольник 
S_(ABCD)  =AB*AD = AB* OO₁=10AB . Определим  хорду AB .
∆OAB  равнобедренный (OA = OB  =r) ,   высота OH одновременно и медиана  AH =BH =AB /2  и  биссектриса * * * ∠AOH =(1/2)∠AOB =60°.* * *
∠ BAO=  ∠ABO = (180° - ∠AOB ) /2 =90°- (1/2)∠AOB =90° -60° = 30° . 
OH =OA/2 (катет против угла 30°) ⇒ OA =2*OH =2*2 см  = 4 см   и   
AB = 2* AH = 2* √ (OA² -OH²) =2√ (4² -2²) =4√3 (см) .
* * *  можно было  сразу  AB  =2* AH = 2*OH*tq60°  * * *
S_(ABCD)  =10*4√3  = 40√3  (см ²) .

ответ :  40√3 см ² .