1)Дан прямоугольный треугольник АВС , в котором угол С равен 90,внешний угол при вершине В
Равен 150.АД-биссектриса угла САВ . Найти углы треугольника АДВ.
2)Высота остроугольного треугольника АВС образует со сторонами , выходящими из той же
Вершины , углы равные 18 и 46.Найти углы треугольника АВС.
3)Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

№1

Так как МК//АС по условию, то угол BMK=угол ВАС как соответственные при параллельных прямых МК и АС и секущей АВ.

Угол АВС – общий.

Тогда ∆МВК~∆АВС по двум углам.

Стороны подобных треугольников пропорциональны, то есть:

МВ/АВ=ВК/ВС

МВ/(АМ+ВМ)=ВК/BC

Пусть АС=n, тогда МВ=2n

2n/(n+2n)=16/BC

2n/3n=16/BC

2/3=16/BC

16*3=2*BC

48=2*BC

BC=24 см

ответ: 24 см.

№2

Так как ВС//DE по условию, то угол АСВ=угол АЕD как соответственные при параллельных прямых ВС и DE и секущей АЕ.

Угол DAE – общий.

Тогда ∆АСВ~∆АЕD по двум углам.

Стороны подобных треугольников пропорциональны, то есть:

АВ/АС=АD/AE

8/12=AD/27

2/3=AD/27

3*AD=27*2

3*AD=54

AD=18 см

ВD=AD–AB=18–8=10 см

ответ: 10 см

Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены.
Тогда мы можем найти модуль вектора АПС по теореме косинусов.
|АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7.
Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы
Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или
Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно).
Угол по таблице равен 38,2°.
 
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А.
Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2)
Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3.
вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7.
Угол между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на протзведение их модулей.
Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или
Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786.
<BAC ≈ 38,2°