Геометрия. 10 класс.

1. Даны точки С(1;2;1), А(1;3;0), В(2;3;1). Вычеслите угол между векторами АС и АВ.

2. Сфера задана уравнением х²+у²+z²-2y+4z=11. Найдите координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найдите значеник m, при котором точки А(m;1;-2) и принадлежат данной В (корень 3; m-6; 2) сфере.

3. Точка B(3;-2;4) принадлежит плоскости альфа. Вектор нормали этой плоскости n(1;2;3). Запишите общее уравнение плоскости альфа.

4. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2;3) и В(2;0;4).

Решите что сможете

А). Рассмотрим треугольники АМР и СКР. Они равны по второму признаку равенства: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:
- АМ=СК по условию;
- углы А и С равны как углы при основании равнобедренного треугольника АВС;
- углы АМР и СКР равны по условию.
У равных треугольников АМР и СКР равны соответственные стороны МР и КР.

б).  Рассмотрим треугольник МРК. Он равнобедренный (МР=КР как было доказано выше). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Т.е. <KMP=<MKP. 

1)АВС - равнобедренный, тогда уголА=углуС(при основании), также

угол AMP=углу PKC и AM=KC(по условию),

то треугольникAMP=треугольникуPKC (по стороне и 2ум прилежащим углам), значит

все элементы в них равны, тогда АР=РС, значит ВР-медиана,

а в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из угла между боковыми сторонами является ещё и высотой и биссектрисой.

 

2)АМ=КС(по условию), причем уголА=углуС(при основании), значит

АМКС - равнобедренная трапеция, тогда МК параллельно АС.

т.к.ВР и медиана и биссектриса и высота [см. 1) доказательство],

то ВР перпендикулярно АС, но т.к. МК параллельно АС, то

ВР перпендикулярно МК

 

Надеюсь удачи ! )