1. Углы BOA и COB – смежные. Найдите эти углы, если ∠BOA в 2,6 раза меньше, чем ∠COB.

а) 80° и 100°; б) 88,7° и 91,3° ; в) 50° и 130° ; г) 77° и 93°

2. Выберите все углы, не являющиеся тупыми: ∠А = 82°; ∠В = 153°; ∠С = 31°; ∠D = 90°; ∠Е = 180°

а) ∠А и ∠C; б) ∠А, ∠В, ∠D; в) ∠A, ∠C, ∠D; г) ∠A, ∠C, ∠D, ∠E

3. Чему равен угол между биссектрисами смежных углов?

а) 60°; б) 90°; в) 100°; г) ответить нельзя

4. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 10% величины развернутого угла. Найдите остальные углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых.

а) 18°, 162°, 162°; б) 18°, 18°, 162°; в) 18°, 162°; г) другой ответ.

5. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 236°. Найдите эти углы.

а) 180°, 28°, 28°; б) 118°, 59°, 59°; в) 56°, 90°, 90°; г) 56°, 56°, 124°.

6. ∠BOK=70°, OE − биссектриса ∠BOK. Найдите ∠BOD, если луч OD – дополнительный к лучу OE.

а) 145°; б) 70°; в) 35°; г) 105°

7. Углы MOD и KON прямые. Найдите ∠KOD, если ∠MON=151°.

а) 29°; б) 119°; в) 61°; г) другой ответ.

Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: 180°(n - 2).

Доказательство:
Отметим произвольную точку внутри выпуклого n-угольника и соединим ее с вершинами. Получим n треугольников.
Сумма углов одного треугольника равна 180°, значит сумма углов всех треугольников равна 180°n.
Но сумма углов всех треугольников включает в себя сумму внутренних углов выпуклого n-угольника и полный угол при вершине О, который надо отнять от получившейся суммы. Получим:
180°n - 360° = 180°(n - 2).
Доказано.

пусть АВ=20 ВС=34 АС=42

пусть Н - основание высоты, опущенной из точки В на АС, то есть ВН - высота. Тогда:

 

АН^2+BH^2 = 20^2;

CH^2+BH^2 = 34^2;

CH+AH = 42;

 

Из первых двух уравнений имеем

 

34^2-20^2 = CH^2 - AH^2;

Отсюда 756 = 42*(СH - AH);

CH-AH = 18; 

 

Теперь уже совсем легко CH=30 AH= 12 BH=16; Нашли высоту и как её основание делит противоположную сторону. Если рассмотреть треугольник, образованный сторонами АВ ВС и верхней стороной вписанного прямоугольника (паралельной АВ), то он совершенно :)  подобен АВС. В том числе высота ВН делит его основание в той же пропорции 12/30, то есть 2/5. То есть отрезку АН =12 соответствует 2/7 верхней стороны прямоугольника.  

 

Если обозначить стороны прямоугольника за х и у, то из подобия треугольников следует,что 

 

(16-x)/(2*y/7) = 16/12;

Ну, и 2*(х+у) = 40; (по условию, периметр прямоугольника)

 

Кстати, получается очень ГОВОРЯЩЕЕ соотношение 1 = x/16 + y/42; интересно, можно ли его сразу увидеть? В любом случае, дальше элементарно.

 

x+y = 20;

21*x+8*y = 336; (просто помножил 1=х/16+y/42 на 336)

 

336 = 21*x + 8* (20-x); 176 = 13*x; x = 13+7/13; y = 6+6/13; Кривой какой-то ответ :(